$3^n$ 分割しない $8^n+1$ ために $n\geq 4$

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Ewan Delanoy 2020-04-15 13:07.

タイトルのような質問:誰かがそれを証明する方法を知っていますか $3^n$ 分割しない $8^n+1$ ために $n\geq 4$ または反例を見つけますか?

私の考え:これが真実であることを確認しました $n\leq 1000$。特定の合同クラスが除外されていることを簡単に示すことができます。$n$ でも、 $8^n+1$ に合同です $2$ モジュロ $3$ だからそれはで割り切れない $3$、もし $n$ に合同です $5$ モジュロ $6$ その後 $8^n+1$ に合同です $18$ モジュロ $27$ だからそれはで割り切れない $27$、など。

一方、それを示すことも同様に簡単です $8^n+1$ の任意の大きな力で割り切れる $3$、したがって、合同法が役立つかどうかはわかりません。

2 answers

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Merosity 2020-04-17 05:55.

最初から私たちはそれを推論することができます $n$ それが偶数であるとき、それは決して割り切れないので、奇妙でなければなりません。 $$8^n+1 \equiv (9-1)^n +1 \equiv (-1)^n+1 \equiv 2 \mod 3$$

今、私たちは知っています $n$ 奇妙なことに、指数レンマ(LTE)を持ち上げることができます。なぜなら、

$$v_3(8^n+1) = v_3(8^n-(-1)^n)$$

そこで、LTEの基準を確認します $$v_3(8) = v_3(-1) = 0$$ $$v_3(8-(-1))\ge 1$$

だから私たちは、

$$v_3(8^n-(-1)^n) = v_3(n) + v_3(8-(-1))$$

$$v_3(8^n+1) = v_3(n)+2$$

私たちの元の問題はそれを示すように求めているので $n>v_3(8^n+1)$ ために $n\ge 4$、LTEからのこの結果を不平等に組み込むことができます。

$$n>v_3(n)+2$$

この時点で、それはかなり下り坂になるはずですが、書きましょう $n=3^t m$ ために $v_3(m)=0$ 見やすくするために。

$$3^tm>t+2$$

指数関数は線形よりもはるかに速く成長するため、証明されています。この不等式に対する唯一の矛盾は、次の場合に発生します。$n<4$

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Vepir 2020-04-15 21:31.

定義する

$\mathbb v_p(n)$$p$-数のadicorder(評価) $n$ は回数です $p$ 分水界 $n$

次に、

あなたはそれを証明したい $\mathbb v_3(8^n+1)\lt n$ すべてのために $n\ge 4$

次のことに注意してください。

$$ \mathbb v_3(8^n+1)=\begin{cases} 0, & n\text{ even}\\ 2, & n\equiv1,5\pmod{6}\\ 3, & n\equiv3,15\pmod{18}\\ 4, & n\equiv9,45\pmod{54}\\ \dots\\ k, & n\equiv3^{k-2},5\cdot 3^{k-2}\pmod{2\cdot 3^{k-1}}\\ \dots \end{cases} $$

あれは、 $\mathbb v_3(8^n+1) = k$ 初めて $n=3^{k-2}$。したがって、$k=n$

$$ n\lt 3^{n-2} \implies \mathbb v_3(8^n+1) \lt n $$

LHSが成立するのは、次の場合に限ります。 $n\ge 4$

QED

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