それを示す $K_T(A)\in\mathcal L\left(M_{n\times n}\right)$ は特異であり、すべての行列を見つけます $T$ st $\dim \operatorname{Ker}\left(K_T\right)=1$

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Invisible 2020-04-15 21:53.

最初に、私は参照するつもりです https://math.stackexchange.com/q/969714/721644 私のタスクと間接的に同様の重要な質問に対処し、 https://math.stackexchange.com/a/478861/721644 通勤するためにマトリックスが満たさなければならないいくつかのプロパティをリストします。$\newcommand{\Ker}{\operatorname{Ker}}$


それを示す $\forall\;T\in M_{n\times n},\; K_T\in\mathcal L\left(M_{n\times n}\right)$$$K_T(A):= AT-TA$$ は特異であり、すべての行列を見つけます $T$ st $\dim\Ker\left(K_T\right)=1$


$K_T$ 明らかに特異であるため $\Ker\left(K_T\right)\ne\{0\}$つまり、それは重要なカーネルを持っています、例えば $K_T(I)=0$ そして $K_T(T)=0$

念のため、 https://math.stackexchange.com/a/2415649/721644、せいぜい $n$ 線形独立行列 $A$ 通勤できる $T$、そして、私が参照した最初の投稿から、 $\operatorname{rank}\left(K_T\right)=\operatorname{rank}(AT-TA)\leqslant n^2-n$、私が理解しているのは $\color{blue}{n^2-n\geqslant n}$ ために $n\geqslant 2$ そして $\color{blue}{\operatorname{rank}(A)\leqslant n},\;\forall A\in M_{n\times n}$ $$\implies n^2-n\geqslant n\geqslant\operatorname{rank}(AT-TA)\\\color{blue}{\dim M_{n\times n}-\operatorname{rank}\left(K_T\right)=\dim \Ker\left(K_T\right)\geqslant n}$$

私の2つの反例に基づいて、見出しのスレッドのケースだけでなく、これも: $A=T^{-1}\implies K_T(A)=K_T\left(T^{-1}\right)=0$$\dim\Ker(T)\ne 1$

私はサイドステートメントを含めて混乱したことを知っていますが、私の推論は正しいですか?

収集したすべての情報を使用して、次のことが可能であるというより一般的なステートメントを証明する方法を尋ねてもよいですか。 $\dim\Ker\left(K_T\right)=k, 1\lt k\lt n$$(k=n$ 明らかに当てはまる $)$ 行列の例を挙げてください $T$ それは条件を満たすかもしれませんか?

前もって感謝します!


更新:

サイトを検索していると、 https://math.stackexchange.com/q/2023400/721644このトピックに関して。この投稿は非常に重要なので、この投稿の初心者の読者に確認することを強くお勧めします。

1 answers

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Martin Argerami 2020-04-16 15:01.

これが1つのアプローチです:

  • 反転可能なものについては注意してください $P$、 あなたが持っている $\ker K_T= P^{-1}\,(\ker K_{PTP^{-1}}) P$

  • そのため、交換することができます $T$ジョルダン標準形とカーネルの寸法は同じになります。つまり、$$T=\begin{bmatrix} \alpha_1 I_{k_1}+J_1\\ &\ddots\\&& \alpha_r I_{k_r}+J_r\end{bmatrix},$$ どこ $k_1+\cdots+k_r=n$ そしてそれぞれ $J_m$$k_m\times k_m$ 冪零ジョーダンブロック。

  • 次に $\ker K_T$ ブロック行列が含まれています $$\begin{bmatrix} T_1\\ &\ddots\\ && T_r\end{bmatrix},$$ どこ $T_m\in\ker K_{\alpha_m I_{k_m}+J_m}$

  • 冪零ジョーダンブロックの場合 $J$、 あなたが持っている $(J+\alpha I)A-A(J+\alpha I)=JA-AJ$。そう$$\ker K_{\alpha_m I_{k_m}+J_m}=\ker K_{J_m}.$$

  • したがって、 $$\dim \ker K_T\geq\sum_{m=1}^r\dim\ker K_{J_m}.$$

  • それぞれについて $m$、簡単な計算は、 $K_{J_m}$ 次の形式の行列で構成されています $$\begin{bmatrix} a_1 & a_2 & a_3 & \cdots & a_{k_m} \\ 0&a_1&a_2&\cdots&a_{k_m-1}\\ \vdots&0&\ddots&\ddots&\vdots\\ \vdots&\vdots&\ddots&a_1&a_2\\ 0&0&\cdots&\cdots&a_1 \end{bmatrix}. $$ したがって、 $$\dim\ker K_{J_m}=k_m.$$

  • その結果 $$\dim\ker K_T\geq\sum_{m=1}^r k_m=n$$

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