横断線マップの存在は密度を妨げますか?

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Noname 2020-04-08 14:19.

しましょう $S$ である $C^{\infty}$-の部分多様体 $N$ そしてそれを仮定します $N-S$ で密集しています $N$、 どこ $M,N$ です $m$ そして $n$ 次元 $C^{\infty}$-それぞれ多様体。

このすべての連続関数のセットの内部への連続関数の非密度は、回答ポスターは次のように主張しています。

場合 $S$ 余次元です $\leq m$$N$、その後存在する $C^{\infty}$ 滑らかな地図 $f:M \to N$ 交差する $S$少なくとも1点で横方向に。そう$f$ にいることはできません $C^0$-の閉鎖 $C(M,N')$、 どこ $N'=N-S$

なぜこれが本当ですか?私はこれまで交叉理論を使用する必要がなかったので、議論は方向性を失ってしまいました。

私は読んでいますが、これはこの結果と何らかの関連があるかもしれませんか?しかし、それはまだ私には明らかではありません。

1 answers

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Moishe Kohan 2020-04-09 04:44.

用語は少し奇妙です。2つの部分多様体が横断的に交差する、またはマップが部分多様体に対して横断的であると言う人がいます。マップが部分多様体と(横断的に)交差するという用語は非標準です。

オプション1:意味するのは存在するということです $p\in M$ そのような $f(p)\in S$ そして $f$ 横断的です $S$$p$

オプション2:意味するところは、ポイントが存在するということです $q\in S$ そのような $q\in f(M)$ そして $f$ 横断的です $S$ 毎回 $p\in f^{-1}(S)$

の存在 $f$ オプション2の場合は、1つだけでさらに作業を行う必要があります。

最初のステップは単純な線形代数です。仮定$W$ の線形部分空間です ${\mathbb R}^n$ その余次元は $\le m$。次に、$m$-次元線形部分空間 $V\subset {\mathbb R}^n$ 横断 $W$。(もちろん、それらの交差点には原点が含まれています。)

さて、 $S$ の部分多様体です $N$、私たちはポイントを取ることができます $q\in S$ とローカルチャート $$ \psi: U\subset N\to {\mathbb R}^n $$ そのような $\psi(S\cap U)$ のオープンな近所です $0$ 線形部分空間で $W\subset {\mathbb R}^n$ そして $\psi(q)=0$。次に$W$ せいぜい余次元がある $m$

取る $V\subset {\mathbb R}^n$上記のように。以来$M$ です $m$-次元、ローカルチャートが存在します $\phi: M\to V$ 与えられたを送る $p\in M$$0$。拡張する$\phi$ 滑らかな地図に $\eta: M\to V\cap \phi(U)$ (のオープンネイバーフッドを縮小した後 $p\in M$適切に)。さあ、作曲$\eta$$\phi^{-1}$ 滑らかなマップを取得します $f: M\to U$ これは横断的です $S$$p$。これにより、オプション1が処理されます。

オプション2に対処するには、まず次の補題を使用します(演習として証拠を残します)。

補題。しましょう$M$$m$-次元多様体。次に、滑らかなマップが存在します$\theta: M\to D^m$ 開いているディスクに $D^m\subset V={\mathbb R}^m$、 そのような $0\in \theta(M)$ そして $0$ の通常の値です $\theta$

この地図を使う $\theta$ なので $\eta$ 上記の証明で。

編集します。

命題。 仮定$f: M\to N$ オプション1を満たします。 $f$ の閉鎖に属していない $C(M,N')$ コンパクト上で均一に収束するトポロジーを備えています。 $N'=N-S$

証明。滑らかなマップの密度によって、それを示すのに十分です$f$ 一連の滑らかなマップの制限(コンパクトでは均一)として表示できません $f_i: M\to N'$。(ここに装備します$N$ いくつかの補助リーマン計量を使用します。)

証明は、たとえば、GuilleminとPollackによる「DifferentialTopology」にある標準的な横断性の議論のバリエーションです。

部分多様体を選択します $M'\subset M$ の余次元に等しい次元の $S$$N$、含む $p$ そしてそのような $f: M'\to N$ 横断的です $S$$p$。制限する$f$ (およびシーケンス $(f_i)$)から $M'$、問題は次の場合に軽減されます $m=dim(M)=codim_N(S)$

しましょう $U$ 上記のようにの座標近傍である $q=f(p)$$N$; の閉鎖は$U$ 閉じたものと微分同相写像です $n$-ボールイン ${\mathbb R}^n$。次に($U$ 十分に小さい)滑らかな境界を持つコンパクトな余次元0部分多様体が存在すると仮定することもできます $\Omega\subset M$ そのような $f(\partial \Omega)\subset \partial D$$f(\Omega)\subset D$ そして $$ \{p\}= f^{-1}(S)\cap \Omega. $$ 十分に大きいすべてのために $i$、各マップ $f_i|\Omega$ ホモトピー $f|\Omega$ 「直線ホモトピー」による $H_i: \Omega\times [0,1]\to N$$H_i(x,0)=f(x), H_i(x,1)=f_i, x\in \Omega$

矛盾のために、私は $f_i(\Omega)\cap S=\emptyset$。次に、WLOG(直線ホモトピーをその小さな滑らかな摂動に置き換えることにより)、それぞれが$H_i$ 横断的です $S$。特に、それぞれ $$ H_i^{-1}(S) $$ コンパクトな1次元部分多様体です $s_i$$\Omega\times [0,1]$

いつ $i$は十分に大きいですが、 $H_i(\partial \Omega \times[0,1])\cap S=\emptyset$。したがって、の境界$s_i$ に含まれています $int(\Omega)\times \{0\}$。この境界は空ではありません$p\in \partial s_i$。したがって、存在します $p'\in \Omega -\{p\}$ そのような $f(p')\in S$。矛盾。qed

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