ケンブリッジIGCSE追加数学チャレンジQ

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SubhanKhan 2020-04-07 21:08.

これは私のケンブリッジIGCSE追加数学教科書からの挑戦的な質問です。図面に私と一緒に耐えなさい。図面は、正方形、円、および四分円で構成されています。唯一の測定値は、正方形の一辺の長さが$10$CM。誰かが私が影付きの領域の領域を見つけるのを手伝ってくれる?答えの説明も探しています。

2 answers

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Allawonder 2020-04-07 22:37.

ヒント。しましょう$x$-軸は左下から右上に対角線に沿って走っています。すると小さな円の方程式は$x^2+y^2=5^2$ そして大きな円のそれ $x^2+(y+\sqrt{50})^2=10^2.$ 2つはポイントで交差します $$\left(\pm\frac{5\sqrt 7}{2\sqrt2},\frac{5}{2\sqrt2}\right).$$

したがって、面積はによって与えられます $$2\int_0^{5\sqrt 7/2\sqrt 2}\left(\sqrt{5^2-x^2}-\sqrt{10^2-x^2}+5\sqrt{2}\right)\mathrm dx.$$

続行できますか?


コメントで示唆されているように、OPが微積分を知らない可能性があるという事実に基づいて、積分は次のように評価されると付け加えます。 $$25\left(\alpha-4\beta+\frac{\sqrt 7}{2}\right),$$ どこ $\cos\alpha=1/2\sqrt 2,\,\cos\beta=5/4\sqrt 2,$ と鋭角 $\alpha,\,\beta$ ラジアンです。

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Allawonder 2020-04-08 04:32.

スケッチ。これは、ルーンの面積を取得するための基本的な方法です。共通の弦を与える2つの円弧の交点を結合します$C$関係する2つのサークルのために。したがって、私たちが求める面積は、小さな円と大きな円のセグメントの面積の差であり、$C.$ これらの領域をそれぞれ $S$ そして $T.$ それなら欲しい $S-T.$ これらのそれぞれを取得するために、関係する円の半径によって定義される二等辺三角形の面積を減算し、 $C$この三角形とセグメントによって形成されるセクターの領域から。したがって、次の長さが必要です。$C,$ これを呼び出します $2y,$そして、それぞれの中心で与えられた弧によって定められた角度。小さな円のものを$2\phi,$ およびその他 $2\psi.$ 最後にしましょう $x$ 小さな円の中心から線分までの距離 $C.$ このすべての情報を図で表すと、指定された正方形の半対角線、小さな円の半径、および大きな円の半径によって定義される三角形が得られます。 $5\sqrt2,5$ そして $10$それぞれ。これらの辺の反対側の角度は名前のない不明です(問題を解決するために必要ではありません)、角度$\psi,$ と角度 $180°-\phi.$ [すべての角度は度で測定されます。]

したがって、この三角形にコサインルールを適用すると、次のようになります。 $$\cos\psi=\frac{5}{4\sqrt 2}.$$ したがって、 $$\sin\psi=\frac{\sqrt 7}{4\sqrt 2}.$$ 次に、正弦定理を使用すると、次のようになります。 $\sin\phi=2\sin\psi=\frac{\sqrt 7}{2\sqrt 2}.$ したがって、私たちはそれを取得します $\cos\phi=\frac{1}{2\sqrt 2}.$ これは私たちに与えます $$x=5\cos\phi=\frac{5}{2\sqrt 2}$$ そして $$y=\frac{5\sqrt 7}{2\sqrt 2}.$$

したがって、小さな三角形の面積は次のようになります。 $$xy=\frac{25}{8}\sqrt 7$$ 大きな三角形の面積は $$(x+5\sqrt 2)y=xy+5y\sqrt 2=\frac{125}{8}\sqrt 7.$$ したがって、私たちはその地域を持っています $S$ 小さなセグメントの $$\frac{2\phi}{360°}×π×5^2-xy=\frac54\left(\frac{π\phi}{9}-\frac58\sqrt 7\right)$$ 同様にそれ $$T=\frac{2\psi}{360°}×π×10^2-\frac{125}{8}\sqrt 7=5\left (\frac{π\psi}{9}-\frac{25}{8}\sqrt 7\right).$$

したがって、必要な面積はによって与えられます $$S-T=\frac{5π}{9}\left(\frac{\phi}{4}-\psi\right)+\frac{425}{32}\sqrt 7,$$ どこ $$\cos\phi=\frac14\sqrt 2,\,\cos\psi=\frac58\sqrt 2$$ そして $\phi,\,\psi$ 度単位です。

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