自然の非合理性に関する定理の一般化?

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SFeesh 2020-04-01 23:45.

これは、モランディの場とガロア理論からの第5章の問題26のステートメントです。

しましょう $K/F$ 通常の拡張であり、 $L/F$代数拡大である。どちらかなら$K/F$ または $L/F$ 分離可能であることを示します $[KL:L] = [K:K \cap L]$ 分離可能性の仮説がなければ、これが誤りである可能性があることを示す例を挙げてください。

拡張が有限であると仮定しましょう。場合$K/F$ が分離可能である場合、それはガロアであり、自然の非合理性に関する定理が適用されます(定理は次のように述べています $\mathrm{Gal}(KL/L) \cong \mathrm{Gal}(K/K\cap L)$。仮定するだけなら$L/F$分離可能であるために、私は立ち往生しています。原始元定理を使ってみたので、$L = F(a)$ いくつかのための $a \in L$ そしてそれを示す $[K(a):F(a)] = [K:K\cap F(a)]$、しかし私はこれでどこにも行くことができません。

私もこの問題に少し驚いています。自然の非合理性に関する定理はかなりよく知られていますが、私が見たところはどこでも、次のことを前提として述べられています。$K/F$ガロアです。私は誰かがこれを行う方法についての洞察、またはその仮定を使用しない証拠のソースを提供できることを望んでいました$K/F$ ガロアです。

編集:少し進歩。しましょう$L/F$分離可能であること。場合$\min(F,a)$ にルーツがあります $K$、それから分割します $K$ の正規性によって $K/F$。したがって、$a \in K$、および $K(a) = K$ そして $K \cap F(a) = F(a)$。この場合、度の式は自明になります。次に、の明確なルーツはどれも$\min(F,a)$ 寝転ぶ $K$

1 answers

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wyhorgyh 2020-11-13 23:33.

と仮定する $L/F$ は分離可能であり、注意してください$[KL:L]=[K:K\cap L]\Leftrightarrow [KL:K]=[L:K\cap L]$

しましょう $L'$ の通常の閉鎖である $L$。なぜなら$L/F$ 分離可能であり、 $L'/F$は分離可能であるため、ガロアです。自然の非合理性によって、$[KL':K]=[L':K\cap L']$

および \ begin {alignat *} {1} [KL ':K]&=&[L':K \ cap L '] \\ \ Leftrightarrow [KL:K]&=&\ frac {[L':L] [L:K \ cap L]} {[KL ':KL] [K \ cap L':K \ cap L]} \ tag * {(1)} \ end {alignat *}

自然な非合理性によって \ begin {alignat *} {1} [KL ':KL]&=&[L':KL \ cap L '] \ tag {2} \\ [KL \ cap L':L]&=& [(K \ cap L ')L:L] \\&=&[K \ cap L':K \ cap L '\ cap L] \\&=&[K \ cap L':K \ cap L] \ tag {3} \ end {alignat *}

次に、

\ begin {alignat *} {1} [KL ':KL] [K \ cap L':K \ cap L]&= [L ':KL \ cap L'] [KL \ cap L ':L] \ tag * {by(2)(3)} \\&= [L ':L] \\ \ Rightarrow 1&= \ frac {[L':L]} {[KL ':KL] [K \ cap L': K \ cap L]} \\ \ Rightarrow [KL:K]&= [L:K \ cap L] \ tag * {by(1)} \\ \ Leftrightarrow [KL:L]&= [K:K \キャップL] \ tag * {QED} \ end {alignat *}

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