グライド反射と平行移動のグループ

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Amomentum 2020-03-29 03:45.

私は次の質問に興味があり、スティルウェルの証明を完成させます。

しましょう $\Gamma$ グライド反射と平行移動で構成された不連続な不動点のないグループになりましょう。 $g$ rの最小長のグライド反射である$\Gamma$、そして $h$ の方向ではなく、最小の長さの要素である $g$。それを示す$g, h$ 垂直方向である必要があります(たとえば、g、hの方向が垂直でない場合に短い要素を見つけることによって)。それを推測する$g, h$ 生む $\Gamma$

この事実の適切な証拠がどこにも見つからないので、私は少し不安になっています。これがありますhttps://iquestion.pro/q/ma15326914/uenotocho-shazo-no-furenzoku-guru-pu-mathbb-r-2-1-tsu-mataha-2-tsu-no-yoso-niyotte-seiseisaremasuMSEで、しかしそれは質問に完全に答えているようには見えません。この特定の答え(それは本当にエレガントに見えるか、少なくとも「古典的に幾何学的」ではないようです)では、私は次の正確な問題を抱えています

  • の場合はどうですか $g$グライド反射ではなく翻訳ですか?(これは答えでは考慮されていないようです)
  • 私が得られない議論の一部があります:の線形部分 $[f, g]$ アイデンティティではないので、 $[f, g]$翻訳ではありません。しかし、なぜそれは必然的に回転になるのでしょうか?向きを維持する変換とは何か関係がありますか?

ご説明いただきありがとうございます。(そして、このより線形な代数的証明を明確にすることに加えて、Stilwellが提案する精神に答えがあるかどうかを知りたいと思います。複雑すぎない場合は、ある意味で最小限の要素のみを考慮します)。

1 answers

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Moishe Kohan 2020-04-01 04:18.

ユークリッド平面を特定します $E^2$ 複素平面で ${\mathbb C}$。したがって、複素数の場合$a\in {\mathbb C}$$T_a$ 翻訳を示します $T_a(z)=z+a$

仮定 $f, g$ の方向反転等長写像です $E^2$。その場合、それらの構成は常に向きを維持します。偶数の方向反転アイソメトリの構成についても同様です。特に、等長写像の任意のペアの整流子は方向を保持します。の等長写像の分類によって$E^2$、方向を保持するアイソメトリは、回転または平行移動のいずれかです。これを代数的に見る方法は次のとおりです。等長写像を検討してください $$ f(z)=az+b, |a|=1. $$ 方程式を解きましょう $f(z)=z$$$ az+b=z, z(a-1)=-b, z= b(1-a)^{-1}, $$ そうでなければ $a=1$。したがって、向きを維持するアイソメトリは、$a=1$、すなわち、 $f$翻訳です。それを見るために$f$ 不動点があります $z_0$ それからそれは回転です、座標の変更を行います $w=z-z_0$ そのため $w=0$は固定小数点です。新しい座標系では、$f$ 回転になります $$ f(w)=aw. $$

次に、方向を反転する等長写像について説明します。グライド反射を思い出してください $g$ ユークリッド平面では、線に沿った並進の合成です $L$ と反射固定 $L$。この線$L$$g$、それはによって一意に決定されます $g$。あるいは、軸$L_g$ 「変位関数」の最小セットとして説明できます $$ z\mapsto dist(z, g(z)). $$

これはソリューションには必要ありませんが、グライド反射に関するいくつかの事実があります。すべてのグライド反射は次の形式で記述できます。 $$ z\mapsto a \bar{z} +b, $$ どこ $|a|=1$。複素数$a=e^{i\theta}$ 軸の方向を決定します $L_g$次のように。方程式$a\bar{z}=z$ 絶対値を持つ正確に2つのソリューションがあります $1$$z= e^{i\theta/2}$ そして $z=e^{i(\theta +2\pi)/2}$。軸$L_g$これらの2つのソリューションを通る線に平行です。2つのグライド反射の場合 $$ g_k: z\mapsto a_k \bar{z} +b_k, k=1,2, $$ 異なる線形部分を持っている $z\mapsto a_k \bar{z}$ その後、製品 $g_1 g_2^{-1}$ 角度による自明でない回転(中心がある) $arg(a_1 a_2^{-1})$。したがって、製品が$g_1 g_2^{-1}$ は翻訳です $g_1, g_2$平行軸を持っています。(これが私の答えの内容です上の等長写像の不連続グループ $\mathbb{R}^{2}$ 1つまたは2つの要素によって生成されます。)

仮定 $G$は、ユークリッド平面の等長変換群のサブグループです。次に$G=G_+\sqcup G_-$、 どこ $G_+$ のサブグループです $G$ 方向を維持する等長写像と $G_-$ のサブセットです $G$方向を反転する等長写像で構成されます。サブグループ$G_+$ インデックス2があります $G$

今それを仮定します $G$ 離散的であり、ユークリッド平面上で自由に作用します。 $G$ 反射や自明でない回転は含まれていません。

定理。次のいずれかが当てはまります。

  1. $G$ は周期的であり、平行移動またはグライド反射によって生成されます。

  2. $G\cong {\mathbb Z}^2$ そして2つの翻訳によって生成されます $T_a, T_b$ どこ $a, b$ 線形独立 ${\mathbb R}$

  3. $G$ 翻訳によって生成されます $h=T_a$ とグライド反射 $g$ の軸が $g$ に直交している $a$ のベクトルと見なされます ${\mathbb R}^2$。より幾何学的に、$L_g$ 平行移動の下で不変な線に直交します $h$

証明。最も興味深いケースを検討します。$G_-$ 空ではありません、すなわち $G$平面上の方向は保持されません。以来$G$ 自明でない回転、グライド反射の軸が含まれていません $G_-$すべてが互いに平行です(グライド反射の構成は、この場合は平行移動です)。一般性を失うことなく(活用することにより)$G$回転によって)これらの軸は複素平面の実際の軸に平行であると想定できます。したがって、すべて$g\in G_-$ 実数を決定します $\tau(g)\in {\mathbb R}$$$ Re( g(z)- z)= \tau(g), \forall z\in {\mathbb C}. $$
関数 $\tau: G_-\to {\mathbb R}$ 満たす: $$ \tau(g^{-1})=-\tau(g), g_1\circ g_2= T_{\tau(g_1) + \tau(g_2)}. $$ グループ以来 $G$ 離散的であるため、 $G_+$したがって、の値のセット $\tau: G_-\to {\mathbb R}$ 集積点はありません。つまり、離散的で閉じたサブセットを形成します。 ${\mathbb R}$。特に、$g_1\in G_-$ そのような $\tau(g_1)>0$ サブセットの最小値を実現します $$ \{\tau(g): g\in G_-\} \cap (0,\infty). $$ 一般性を失うことなく、活用することによって $G$ 複雑なアフィン変換のグループのいくつかの要素を介して $z\mapsto az+b$$a\in {\mathbb C}^\times, b\in {\mathbb C}$、私たちはそれを仮定することができます(そしてそうするでしょう) $L_{g_1}$ は実際の軸であり、 $\tau(g_1)=1$。(これは表記の便宜の問題です。)正方形$h_1=g_1\circ g_1$ 翻訳です $T_2$

サブセットについてはそれを思い出してください $S$ グループの $G$、表記 $\langle S \rangle$ のサブグループを表します $G$ によって生成されます $S$。以来$h_1(z)=z+2$、すべての剰余類 $G_+/\langle h_1\rangle$ 代表者がいます $h=T_a$ そのような $Re(a)\in [-1,1]$

補題。番号$a$ 上記のように虚数です: $Re(a)=0$。言い換えると、$h$ 垂直方向の翻訳です。

証明。交換$h$ その逆で、私たちは次のように仮定することができます $0\le a\le 1$。次、$g_1 h g_{1}^{-1}= T_{\bar{a}}$ それゆえ、 $h g_1 h g_{1}^{-1}= T_{b}$$b=2Re(a)\in {\mathbb R}$。場合$Re(a)\in (0,1)$ その後、どちらか $g=T_b g_1^{-1}$ または $g= T_{-b}g_1$ を満たすグライド反射です $$ 0< \tau(g) <1 $$ これは私たちの選択と矛盾します $g_1$ の最小の正の値を達成する $\tau$。仮定$Re(a)=1$。次に $$ \tau( T_{-b}g_1)=0, $$ すなわち $T_{-b}g_1$ は、次の仮定と矛盾する反射(グライド反射ではない)です。 $G$飛行機で自由に行動します。したがって、$Re(a)=0$。qed

のサブグループ $G_+$垂直方向の平行移動で構成されることは離散的であるため、取るに足らないか、無限に循環します。前者の場合、 $G_+= \langle h_1\rangle$ それゆえ、 $g_1$ 生成します $G$

したがって、の垂直翻訳のサブグループが $G_+$無限循環です。その後、いくつかの翻訳によって生成されます $$ h_2=T_a, Re(a)=0. $$ のすべての剰余類以来 $G_+/\langle h_1\rangle$ 垂直移動、つまりの要素によって表されます $\langle h_2\rangle$、私たちはそれを結論付けます $G_+$ によって生成されます $h_1, h_2$、水平および垂直の平行移動。以来$G=G_+\cup g_1 G_+$ (なので $G_+$ インデックス2があります $G$)、それを取得します $g_1$ そして $h_2$ 生む $G$。qed

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