コンパクトにサポートされた分布のフーリエ変換は実際には関数です

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Juan Carlos Ortiz 2020-03-21 05:08.

場合 $u$ コンパクトにサポートされたディストリビューションです $\mathbb{R}^n$、そのフーリエ変換をどのように証明できますか $\mathcal{F}u$ 関数によって与えられる強化された分布です $\xi\mapsto u(e^{-ix\xi})$

ここで、フーリエ変換はシュワルツ関数で次のように定義されています。 $\mathcal{F}\phi(\xi)=\int e^{-ix\xi}\phi(x) dx $、および $\mathcal{F}u(\phi)=u(\mathcal{F}\phi)$。場合$u$ コンパクトにサポートされている場合 $u=\chi u$ コンパクトにサポートされたスムーズな $\chi$、 など $u(e^{-ix\xi}) = u(\chi(x)e^{-ix\xi})$ 誰に対しても明確に定義されています $\xi$。直感的に、

$$ \int_{\xi\in\mathbb{R}^n} u(\chi(x)e^{-ix\xi}) \phi(\xi) d\xi = u\left(\int_{\xi\in\mathbb{R}^n}\chi(x)e^{-ix\xi}\phi(\xi) d\xi \right) $$

これが私たちが示したいものです(LHSは $u$ その関数に適用されます $x$)、しかし、分布内の積分記号を引くことがどれほど厳密であるかはわかりません。

3 answers

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Chris Wendl 2020-09-16 21:37.

ヘルマンダーの著書「線形部分微分演算子の分析I」(定理7.1.14)には、これを示す優れた証拠があります。必要な主なツールは、フビニの定理(ヘルマンダーの本の定理5.1.1)の配布バージョンです。主なポイントをまとめます。

予備ステップ1:フビニの定理

場合 $u$ そして $v$ 上のディストリビューションです ${\mathbb R}^m$ そして ${\mathbb R}^n$それぞれ、独自の製品流通があります $u \otimes v$ オン ${\mathbb R}^{m+n}$ 状態によって特徴付けられる $$ (u \otimes v)(\varphi \otimes \psi) = u(\varphi) v(\psi) $$ すべてのために $\varphi \in {\mathcal D}({\mathbb R}^m)$ そして $\psi \in {\mathcal D}({\mathbb R}^n)$、私たちが書くところ $(\varphi \otimes \psi)(x,y) := \varphi(x) \psi(y)$。また、$u \otimes v$ 任意のテスト関数で評価できます $\varphi \in {\mathcal D}({\mathbb R}^{m+n})$ 沿って $$ (u \otimes v)(\varphi) = u(x \mapsto v(\varphi(x,\cdot))) = v(y \mapsto u(\varphi(\cdot,y))). $$ (右側の両方の表現が理にかなっていることを示すために必要な、少し重要な演習があることに注意してください。 $x \mapsto v(\varphi(x,\cdot))$ でスムーズにコンパクトにサポートされる関数を定義します ${\mathbb R}^m$。これは主に、一様連続性によって、$x \mapsto \varphi(x,\cdot)$ は、テスト関数の空間への連続マップ、およびこの種の他の引数です。)次の場合にこの式を書き留める場合 $u$ そして $v$ 局所可積分関数によって与えられると、古典的なフビニの定理から簡単にたどることがわかります。

積の分布が一意であることがわかっている場合、式は、右側の両方の式が積の分布の定義プロパティを満たす分布を定義していることを直接検証することによって続きます。一意性は軟化によって証明できます:if$u \otimes v$ 一意ではなかった場合、重要な分布が存在します $w$ オン ${\mathbb R}^{m+n}$ そのような $w(\varphi \otimes \psi) = 0$ すべてのために $\varphi \in {\mathcal D}({\mathbb R}^m)$ そして $\psi \in {\mathcal D}({\mathbb R}^n)$。おおよそのアイデンティティ、つまり滑らかな関数のシーケンスを選択します$\rho_j : {\mathbb R}^m \to [0,\infty)$ そして $\sigma_j : {\mathbb R}^n \to [0,\infty)$ 近くのコンパクトなサポートを縮小します $\{0\}$ 分布の空間に収束する $\delta$-関数。次に、古典的なフビニの定理は、シーケンスが$\rho_j \otimes \sigma_j : {\mathbb R}^{m+n} \to [0,\infty)$ また、同じ意味で近似単位元を定義し、滑らかな関数のシーケンスは次のようになります $(\rho_j \otimes \sigma_j) * w$ に収束します $w$分布の空間で。しかし、それらの機能はすべてです$0$ の定義プロパティのため $w$、したがって $w=0$

予備ステップ2:多項式の成長

関数を表示する前に $g(\xi) := u(\chi(x) e^{-i x \xi})$ のフーリエ変換のもっともらしい候補として $\chi u$、テンパリングされた分布を定義するために、無限大で十分に動作することを知る必要があります。前の回答に対するコメントで示したように、$g$は確かに一般的なシュワルツ関数ではありませんが、多項式の成長があることを示すことができます。おそらく最も簡単な方法は、フーリエ変換の標準プロパティを使用して書き直すことです。$g$ なので $$ g(\xi) = \left( ( {\mathcal F}\chi)^- * {\mathcal F}^*u\right)(-\xi), $$ 表記を使用している場所 $f^-(x) := f(-x)$。緩和された分布を持つシュワルツ関数の畳み込みとして、畳み込みに関する標準的な結果から、この関数には多項式の成長があることがわかります。

主な議論

質問で述べたように、私たちはその関係を証明する必要があります $$ \int_{{\mathbb R}^n} u(\chi(x) e^{-i x \xi}) \phi(\xi) \, d\xi = u\left( \int_{{\mathbb R}^n} \chi(x) e^{- i x \xi} \phi(\xi)\, d\xi \right) $$ すべてに当てはまります $u \in {\mathcal D}'({\mathbb R}^n)$$\chi \in {\mathcal D}({\mathbb R}^n)$ そして $\phi \in {\mathcal S}({\mathbb R}^n)$。ステップ2までに、$\phi$、したがって密度によって、それは仮定するのに十分でしょう $\phi \in {\mathcal D}({\mathbb R}^n)$。ここでの重要な観察は、ステップ1の定理により、両側を次のように識別できることです。 $(u \otimes 1)(f)$、 どこ $1 \in {\mathcal D}'({\mathbb R}^n)$ 分布です $1(\varphi) := \int_{{\mathbb R}^n} \varphi(x)\, dx$ そして $f \in {\mathcal D}({\mathbb R}^{m+n})$ によって与えられます $$ f(x,\xi) := \chi(x) \phi(\xi) e^{-i x \xi}. $$

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Juan Carlos Ortiz 2020-03-23 06:46.

同等性を証明するために、テンパリングされた分布の空間から複素平面への2つのマッピングを比較します。 $$ \mathcal{S}' \to \mathbb{C} \\ u\mapsto \int u(\chi(x)e^{-ix\xi}) \phi(\xi)d\xi $$ そして $$ \mathcal{S}' \to \mathbb{C} \\ u\mapsto u\left(\int \chi(x)e^{-ix\xi} \phi(\xi)d\xi\right) $$ 2つ目は、コンパクトにサポートされた滑らかな関数で評価するだけなので、連続です。最初のものは構成なので連続的です$\mathcal{S}'\to\mathcal{S}\to\mathbb{C}$ 最初の地図は $u\mapsto (\xi\mapsto u(\chi(x)e^{-ix\xi}))$ 2番目のマップは $\phi(\xi)$。したがって、2つのマップが一致することを証明するには、密なサブセットで一致することを証明するだけで十分です。$\mathcal{S}\subset\mathcal{S}'$。だから、言って$u$ シュワルツ関数に対応 $\psi(x)$。次に、平等を証明する必要があります $$ \int \left(\int \psi(x)\chi(x)e^{-ix\xi}dx\right) \phi(\xi)d\xi = \int \psi(x)\left(\int \chi(x)e^{-ix\xi}\phi(\xi)d\xi\right) dx $$ どちらも機能を統合しているので明らかです $$ (x,\xi) \mapsto \psi(x)\chi(x)e^{-ix\xi}\phi(\xi) $$ オン $\mathbb{R}^{2n}$、およびフビニの定理が適用されるのは、この関数が $L^1(\mathbb{R}^{2n})$ その規範はによって制限されているので $|\psi(x)\chi(x)|\cdot|\phi(\xi)|$ そして $\psi,\chi,\phi$ すべてシュワルツです。

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md2perpe 2020-09-18 03:27.

シーケンスを取る $u_k \in C_c^\infty \subset \mathcal{S}'$ そのような $u_k \to u$$\mathcal{S}'$ なので $k \to \infty.$ これらの場合、フーリエ変換は、古典的であると同時に分布的であり、次の式で与えられます。 $\widehat{u_k}(\xi) = \langle u_k(x), e^{-i\xi x} \rangle.$

フーリエ変換は $\mathcal{S}'$、つまり $u_k \to u$$\mathcal{S}'$ その後 $\widehat{u_k} \to \widehat{u}$$\mathcal{S}'$。したがって、前の結果を制限すると、次のようになります。$\widehat{u}(\xi) = \langle u(x), e^{-i\xi x} \rangle.$

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