通常のネータースキームのWeil因子

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OldStudentL 2020-03-21 00:31.

私は劉の代数幾何学と算術曲線のセクション7を見ています。

セクション7、定義2.4。ワイル因子をネーター積分スキーム上の余次元1のサイクルとして定義します。しかし、Liuは、定義2.7。、2.10。、命題2.11などの通常のネータースキームに関するWeil因子、および関数フィールドの概念について説明します。$K(X)$ 通常のネータースキームの $X$

関数フィールドが積分スキーム上で定義されているので、私は迷子になります。私の理解では、通常のネータースキームの関数フィールドに最も近いものは、おそらく有限積分成分の関数フィールドの直和です。

私がもっと興味を持っているのは、Weil除数が通常のネータースキームで明確に定義されているかどうか、そしてそれが可逆層と同等であるかどうかです。誰かがこれについて説明できますか?

ありがとうございました。

1 answers

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KReiser 2020-03-21 10:44.

通常のスキームでは、既約成分は連結成分です。2つの既約成分が出会うことはできません。そうしないと、交差点のローカルリングがドメインにならず、通常のスキームのすべてのローカルリングが整閉整域であるという定義と矛盾します。 。したがって、正規多様体でワイル因子のコンポーネントごとに分析することは理にかなっており、各コンポーネントに関連する結果を適用して、そこから結論を出すことができます。特に、Weil除数は、任意のネーター正規多様体で完全に明確に定義されています。


カルティエ因子(直線束)とワイル因子(余次元1サイクル)の比較については、以下の資料が比較的標準的です。Vakilの第14章を大まかにフォローしますhttp://math.stanford.edu/%7Evakil/216blog/FOAGnov1817public.pdf

定義。しましょう$X$ネータースキームである。マップを定義する$\operatorname{div}$ 直線束のコレクションから $\mathcal{L}$ オン $X$ 合理的なセクションで $s$ の既約成分が消えない $X$ 上のWeil因子へ $X$ 次のように:

$$\operatorname{div}(s) = \sum_{Y} \operatorname{val}_Y(s)\cdot [Y] $$

どこ $Y$ の余次元の1つの既約サブスキームの範囲 $X$、および $\operatorname{val}_Y$ 自然な評価を表します。

これにより、有理数の直線束の同型クラスのテンソル積の下にあるグループから、Weil因子のグループへのマップが得られます。

命題。(Vakil 14.2.1)$X$ネーター環の正規多様体である。地図$\operatorname{div}(s):Pic(X)\to Cl(X)$ 単射です。

これは、通常のネータースキームでは、カルティエ因子がワイル因子を与えることを意味します。逆が常に正しいとは限らないことがわかります。標準的な例は除数です$D$ 行によって与えられる $V(x,z)$ コーンの内側 $V(xy-z^2)\subset \Bbb A^3$ (Vakil演習14.2.H)。 $D$はカルティエではありません。除数の集合論的サポートで除数が2次まで消えてしまうからです。一方、$2D$ はカルティエ除算器であり、これが本質的に問題が発生する唯一の方法です。

定義。すべてのローカルリングが一意の因数分解ドメインである場合、スキームは階乗(またはローカル階乗)と呼ばれます。

UFDは通常のドメインであるため、これはすべての階乗スキームが実際に通常であることを即座に意味することに注意してください。

命題(Vakil 14.2.10)。しましょう$X$ネーターの階乗スキームである。次に、Weil因子について$D$、束 $\mathcal{O}(D)$ は直線束であり、マップ $Pic(X)\to Cl(X)$ 同型です。

特に、これは階乗ネータースキームでは、Weil除数とCartier除数の概念が同じであることを意味します。

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