算術平均と対数平均の間の不平等を引き起こすabc予想よりも弱い

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user759001 2020-03-14 22:56.

この投稿では、整数の根基を示します $n>1$ なので $$\operatorname{rad}(n)=\prod_{\substack{p\mid n\\p\text{ prime}}}p$$ 定義付き $\operatorname{rad}(1)=1$。ウィキペディアからわかるように、abc予想は数学の重要な問題です。https://en.wikipedia.org/wiki/Abc_conjecture#Formulations。この投稿では、前のリンクで述べたABC予想IIの定式化を意味します。

次に、算術平均と対数平均の間の不平等を使用して確認するのは簡単です。abc予想は、次の予想が真であることを意味します。ウィキペディアを参照しますhttps://en.wikipedia.org/wiki/Logarithmic_mean#Inequalities、あなたがこの意味と私が言及する不平等を知らない場合に備えて。

推測。 すべての実数に対して $\varepsilon>0$正の定数が存在します $\mu(\varepsilon)$ すべてのペアのために $(a,b)$ 互いに素な正の整数の $1\leq a<b$ $$2\,\frac{b-a}{\log\left(\frac{b}{a}\right)}\leq \mu(\varepsilon)\operatorname{rad}(ab(a+b))^{1+\varepsilon}\tag{1}$$ 保持します。

質問。以前の予想の信憑性を無条件に証明/議論するために何ができるのだろうかと思いました。なぜなら、不平等を含むこの声明を思い起こさせるからです。$(1)$abc予想よりもはるかに弱いです。どうもありがとう。

これが明らかかどうかはわかりませんが(私の質問に対する答えを簡単に得ることができる場合)、Pari / GPスクリプトを使用したいくつかの非常に単純な実験からいくつかのアイデアを得ようとしました。この推測が文献にあるかどうかはわかりません。文献からそれを知っている場合は、参照要求としてこの質問に自由に答えてください(または、参照とともにコメントを追加してください)。私はそれを検索して読みます。文学。

現在、この投稿はMathOverflowにクロスポストされています。 ヘルダーの理論と対数平均からのabc予想のより弱い形式についてMO359706の投稿。

参照:

[1] AndrewGranvilleとThomasJ。Tuckerabc同じくらい簡単、AMSの通知、第49巻、第10号(2002年11月)。

[2] BC Carlson、超幾何関数のいくつかの不等式、Proc。アメル。数学。Soc。、17:36ページ(1966)。

1 answers

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Pythagorus 2020-04-06 15:46.

$a+b\ge 2 (b-a)/log(b/a)$ あなたの新しい予想の右側には何もしません。

したがって、新しい予想で得られた高品質のアナログq 'が元の予想と同じ運命をたどることを示すのは簡単です。つまり、$limsup(q') =1$ ない $1+\epsilon$

見る https://arxiv.org/abs/1409.2974 参考として。

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