線形変換の合計のランクの次元の条件は、ランクの合計に等しくなります

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user1618 2020-03-10 22:15.

しましょう $E,F$ 上の有限次元のベクトル空間 $K$ そして $f,g$ からの線形変換 $E$$F$。線形変換を検討してください$f+g:E \to F$$(f+g)(u) = f(u)+g(u) \;\;\forall u \in E$

同等であることを証明します。

(私)$\dim Im(f+g) = \dim Im(f) + \dim Im(g)$

(ii)$Im(f)\cap Im(g)=\{0\},f(Nuc(g))=Im(f), g(Nuc(f)) = Im(g)$

ランクnulity定理を使ってみました $f,g$ そして $f+g$、しかしどこにも行きませんでした。

1 answers

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Ewan Delanoy 2020-04-10 18:04.

しましょう $F=Im(f)$$G=Im(g)$$S=Im(f+g)$。またしましょう$\Gamma$ の補足になる $Nuc(g)$$E$、 そのため $\dim(\Gamma)=rk(g)$

の証明 $(i) \Rightarrow (ii)$:(i)が真であると仮定します。一方では、$S \subseteq F+G$; しかし一方で、私たちは$dim(S)=rk(f+g)=rk(f)+rk(g)=dim(F)+dim(G) \geq dim(F+G)$(i)によって。そう$S=F+G$ そして $dim(S)=dim(F+G)$。式を使用する$dim(F+G)=dim(F)+dim(G)-dim(F\cap G)$、私たちは推測します $dim(F\cap G)=0$、すなわち $F\cap G=\lbrace 0 \rbrace$ これは(ii)の最初の部分です。

さて、 $f+g$ 単射でなければなりません $\Gamma$ (そうでなければ、ゼロ以外の値になります $\gamma\in \Gamma$ そのような $(f+g)(\gamma)=0$、 その後 $f(\gamma)=-g(\gamma)$ のゼロ以外の要素になります $F\cap G$ 仮説と矛盾する)、したがって $dim((f+g)(\Gamma))=dim(\Gamma)=rk(g)$

次に

$$ rk(f)+rk(g)=rk(f+g) \leq dim((f+g)(\Gamma))+dim((f+g)(Nuc(g))) = rk(g)+dim(f(Nuc(g))) $$

そう $rk(f) \leq dim(f(Nuc(g)))$、しかし一方で、私たちはそれを簡単に持っています $f(Nuc(g)) \subseteq Im(f)$、したがって、これらの2つのサブペースは等しくなければならず、これは(ii)の2番目の部分です。(ii)の最後の部分も同様に推論され、の役割が逆になります。$f$ そして $g$

の証明 $(ii) \Rightarrow (i)$:(ii)が真であると仮定します。私は部分空間が$A=(f+g)(Nuc(g))=f(Nuc(g))$ そして $B=(f+g)(\Gamma)$ 些細な交差点がある、すなわち $A\cap B=\lbrace 0 \rbrace$。そうでなければ、ゼロ以外になります$z\in Nuc(g)$ およびゼロ以外 $\gamma \in \Gamma$ そのような $f(z)=(f+g)(\gamma)$、 その後 $f(z-\gamma)=g(\gamma)$ の非ゼロ要素になります $Im(f)\cap Im(g)$、仮説と矛盾します。

その事実から $Im(f+g)=A+B$、それから推論するかもしれません $$rk(f+g)=dim(A)+dim(B)=dim(f(Nuc(g)))+dim(B)=rk(f)+dim((f+g)(\Gamma))=rk(f)+rk(g)$$

ここで、最後のステップでは、の証明と同じ引数を使用します。 $(i) \Rightarrow (ii)$。これで証明は終わりです。

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