に関して収束するシーケンスを見つける $d_{l^\infty}$ メトリックですが、 $d_{l^1}$ メトリック

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DEJABLUE 2020-02-20 14:36.

(タオによる実解析2の演習1.1.15) $$X : = \{(a_n)_{n=0}^\infty : \sum_{n=0}^\infty |a_n| < \infty\}$$絶対収束シーケンスの空間である。を定義する$l^1$ そして $l^\infty$ このスペースのメトリック

$$d_{l^1} ((a_n)_{n=0}^\infty, (b_n)_{n=0}^\infty) : = \sum_{n=0}^\infty |a_n - b_n|;$$ $$d_{l^\infty} ((a_n)_{n=0}^\infty, (b_n)_{n=0}^\infty) : = \sup_{n \in \mathbb{N}} |a_n - b_n|.$$

シーケンスが存在することを示す $x^{(1)}, x^{(2)}, ...$ の要素の $X$ (すなわち、シーケンスのシーケンス)は、 $d_{l^\infty}$ メトリックですが、 $d_{l^1}$メトリック。逆に、収束するシーケンスは$d_{l^1}$ メトリックは自動的に収束します $d_{l^\infty}$ メトリック。

しましょう $x^{(k)}$ のシーケンスである $X$ そのような $\lim_{k\to\infty}d_{l^1} ( (x^{(k)}_n)_{n=1}^\infty, x) =0$。次に、$|x_i^{(k)} - x_i| < \epsilon$ すべてのために $i$。したがって、$x^{(k)}$ に収束します $x$$d_{l^\infty}$同様に。これは質問の2番目の部分を証明します。質問の最初の部分を証明するのに苦労しています。助けてもらえますか?

1 answers

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Nick 2020-02-20 20:49.

コメントのように、私たちは取ることができます $$x^{(n)}=(\frac{1}{n},\frac{1}{n},\dots,\frac{1}{n},0,0,\dots)$$どこ $n+1,n+2,...$-の-番目のエントリ $x^{(n)}$ 全てです $0$。次に、それをチェックする必要があります$x^{(n)}$ に収束できません $d_{l_1}$ ノルム。

編集します。

仮定 $x^{(n)}$ いくつかに収束します $x$$d_{l^1}$、それからそれはそれをチェックすることができます $x=(0,0,\dots)$ 次のように:

しましょう $x(k)=$ インクルード $k$-の-番目の座標 $x$。次に$$|x(k)-x^n(k)|\le d_{l^1}(x,x^{(n)})$$取る $n\to\infty$ 見る $x(k)=0$、したがって $x=(0,0,\dots)$

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