ダイスプールで2番目に高いロールの確率。

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FnTom 2020-01-21 19:49.

私は、最高のロールと最低の2つのロールを捨てると仮定して、4つの20面ダイスのプールで特定の数字を振る確率を把握しようとしています。私の本能は、2つのサイコロがターゲットn以下であり、1つはそれ以上であり、もう1つは私が望む特定のロールである確率を合成することでした。$P(n) = \frac{(n^2)(21-n)}{20^4}$

しかし、各数字の確率の合計がフラット1ではなく約10%であることに気付きました。私の最初の本能は、これが特定のサイコロが2番目に高い確率であったため、すべての結果が考慮されたわけではないということでした。しかし、順列を考慮に入れると、私は約242%になりました。まだ閉じていません。これは、個々の確率の合計が1に等しい必要がない場合ですか、それとも私の計算が間違っているのでしょうか。

1 answers

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joriki 2020-01-22 05:33.

最高のダイが表示される確率 $k$ せいぜい他のすべてのサイコロを表示する $n\lt k$ です $4\cdot\frac{n^3}{20^4}$、したがって、最も高いダイが表示される確率 $k$ そして次に高いダイを表示する $n\lt k$ です $4\cdot\frac{n^3-(n-1)^3}{20^4}$。したがって、2番目に高いサイコロが最も高いサイコロよりも低く、値を持つ確率$n$ です

$$ 4\sum_{k=n+1}^{20}\frac{n^3-(n-1)^3}{20^4}=4(20-n)\frac{n^3-(n-1)^3}{20^4}\;, $$

一方、2番目に高いサイコロが最も高いサイコロに等しく、値を持つ確率 $n$ です

$$\frac{n^4-(n-1)^4-4(n-1)^3}{20^4}\;.$$

あなたが求める確率は、これら2つの確率の合計です。

$$ \frac{4(20-n)\left(n^3-(n-1)^3\right)+n^4-(n-1)^4-4(n-1)^3}{20^4}=\frac{83-252n+258n^2-12n^3}{20^4}\;. $$

これがの分子の表です $n=1,\ldots,20$

\ begin {array} {r | r} n&\\\ hline 1&77 \\ 2&515 \\ 3&1325 \\ 4&2435 \\ 5&3773 \\ 6&5267 \\ 7&6845 \\ 8&8435 \\ 9&9965 \\ 10&11363 \\ 11&12557 \\ 12&13475 \ \ 13&14045 \\ 14&14195 \\ 15&13853 \\ 16&12947 \\ 17&11405 \\ 18&9155 \\ 19&6125 \\ 20&2243 \ end {array}

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