閉じた線形円錐によって生成される凸錐は常に閉じていますか?

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Asaf Shachar 2020-01-09 06:19.

しましょう $C \subseteq \mathbb{R}^n$ことが閉じられたコーンゼロが含まれています。(すなわち$\lambda C \subseteq C$ すべてのための $\lambda \ge 0$)。

しましょう $P(C)$ によって生成された凸錐である $C$、つまり、点のすべての正の線形結合のセット $C$。です$P(C)$ 閉まっている?

一般に、原点を含む閉じた(さらには凸の)集合によって生成された円錐は、前述のように閉じていない可能性があります。 https://math.stackexchange.com/a/701791/104576

ここでは、生成集合が(線形)円錐であると仮定します。それは物事を変えますか?

1 answers

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supinf 2020-01-09 07:08.

いいえ、これは真実ではありません。 $\mathbb R^3$ 見つけることができます。

2つの閉じた凸錐を選択します $K_1,K_2$ その合計 $K_1+K_2$ 閉じていません。を参照してください。 https://iquestion.pro/q/ma13709986

今簡単に定義する $C:=K_1\cup K_2$。その後、セット$C$ は閉じていますが、によって生成された凸錐 $C$ です $K_1+K_2$、閉じていません。

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