バナッハ空間間の地図は連続的です-反例

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Severin Schraven 2020-01-06 10:41.

今日、次の質問が出ました(バナッハ空間間の地図は連続的です):

私はこの声明を証明しようとしています:

しましょう $(X_0, \| \cdot \|_{X_0})$ そして $(X_1, \|\cdot \|_{X_1})$ バナッハ空間であり、 $(Y_0, \| \cdot \|_{Y_0})$ そして $(Y_1, \|\cdot \|_{Y_1})$ ノルム空間 $X_0$ のベクトル部分空間です $Y_0$ そして $X_1$ のベクトル部分空間です $Y_1$

さらに、 $i_0: (X_0, \|\cdot\|_{X_0}) \rightarrow (Y_0, \|\cdot\|_{Y_0}),\; x \mapsto x$ そして $i_1: (X_1, \|\cdot\|_{X_1}) \rightarrow (Y_1, \|\cdot\|_{Y_1}),\; x \mapsto x$ 継続的です。

場合 $T \in L(Y_0, Y_1)$ そのため $T(X_0) \subseteq X_1$、定義する $S: (X_0, \|\cdot\|_{X_0}) \rightarrow (X_1, \|\cdot\|_{X_1}), \;x \mapsto Tx$ そしてそれを示す $S$ 継続的です。

それを証明する方法はありますか?

ちょっと考えていて、反例を思いついたと思いました。私がそれを投稿する前に、それが本当に真実であることを示す答えがありました。証明はかなり短く、非常に説得力があるように見えます。したがって、私の質問は次のとおりです。

私の反例の何が問題になっていますか?

反例として、バナッハ空間を選択してください $(Z, \Vert \cdot \Vert_Z)$、不連続線形写像 $C: (Z, \Vert \cdot \Vert_Z)\rightarrow (Z, \Vert \cdot \Vert_Z)$。定義する$X:=Z\oplus Z$ 規範で $\Vert (z_1, z_2)\Vert := \Vert z_1\Vert_Z +\Vert z_2\Vert_Z$。次に、2つの不連続線形マップを定義します $$A: (X, \Vert \cdot \Vert) \rightarrow (X, \Vert \cdot \Vert), A(z_1, z_2):= C(z_1)+z_2$$ そして $$ B: (X, \Vert \cdot \Vert) \rightarrow (X, \Vert \cdot \Vert), B(z_1, z_2):=z_1+ C(z_2). $$ 次に、2つの新しい規範を定義します $X$。つまり、$x\in X$ $$ \Vert x\Vert_A := \Vert x\Vert + \Vert Ax\Vert$$ そして $$ \Vert x\Vert_B := \Vert x \Vert + \Vert Bx\Vert.$$ 今選ぶ $$(X_0, \Vert \cdot \Vert_{X_0})= (X, \Vert \cdot \Vert_A ) = (Y_0, \Vert \cdot \Vert_{Y_0})$$ そして $$ (X_1, \Vert \cdot \Vert_{X_1}) = (X, \Vert \cdot \Vert_B)$$ そして $$ (X, \Vert \cdot\Vert) = (Y_1, \Vert \cdot \Vert).$$ 我々は持っています $$ \Vert i_0 x\Vert_{Y_0} = \Vert x\Vert_{Y_0} =\Vert x\Vert_A = \Vert x\Vert_{X_0}$$ そして $$ \Vert i_1 x\Vert_{Y_1} = \Vert x\Vert \leq \Vert x\Vert + \Vert Bx\Vert = \Vert x\Vert_{X_1}$$ したがって、 $i_0$ そして $i_1$継続的です。さらに、 $$ T: (Y_0, \Vert \cdot\Vert_{Y_0}) \rightarrow (Y_1, \Vert \cdot \Vert_{Y_1}), x\mapsto Ax.$$ 計算します $$\Vert T x\Vert_{Y_1} = \Vert Ax \Vert \leq \Vert x\Vert_{Y_0}$$ したがって、また $T\in L(Y_0, Y_1)$

あなたは今、地図が $S: (X_0, \Vert \cdot \Vert_{X_0}) \rightarrow (X_1, \Vert \cdot \Vert_{X_1}), x\mapsto Ax$同様に継続的です。本当じゃない。ご了承ください$i: Z \rightarrow X, z \mapsto (0,z)$継続的です。場合$S$ 連続していて、それから地図も $F = S\circ i: (Z, \Vert \cdot \Vert_Z) \rightarrow (X_1, \Vert \cdot\Vert), z \mapsto A(0, z)$継続的でした。これは意味します $$ \Vert z \Vert_Z + \Vert C(z) \Vert_Z = \Vert (0,z) \Vert + \Vert B(0,z) \Vert = \Vert (0,z) \Vert_{X_1} = \Vert A(0,z)\Vert = \Vert F(z) \Vert \leq \Vert F \Vert_{op} \Vert z \Vert_Z $$ それは私たちにそれを教えてくれます $C$ は継続的であり、これは矛盾です。

1 answers

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Rhys Steele 2020-01-06 11:00.

$X$ たとえば、バナッハ空間ではありません $\|\cdot\|_A$。もしそうなら、私たちはそれを持っているでしょう$\|\cdot\|_A$ の通常の基準と同等です $X$ バナハの同型定理による $\|x\| \leq \|x\|_A$。これが本当なら、$c$ そのような $\|x\|_A = \|x\| + \|Ax\| \leq c\|x\|$ これは、 $A$ せいぜい規範に縛られている $c-1$。投影図は連続的であるため、これは次のことを意味します。$(z_1, z_2) \mapsto C(z_1)$ は連続的であり、これは次のことを意味します $C$ 継続的です。

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