素数階乗の約数

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Larry Freeman 2020-01-05 09:55.

しましょう:

  • $p_n$ である $n$プライム。
  • $p\#$の素数階乗になる$p$
  • $f_n(x) = \dfrac{p_n\#}{x} - x$

それは常にそれに従いますか $n \ge 2$、整数が存在します $w$ どこ $1 < f_n(w) < (p_n)^2$ そして $w | p_n\#$

例:

  • にとって $n=2$$f_2(1) = \dfrac{6}{1} - 1 = 5 < 3^2 = 9$
  • にとって $n=3$$f_3(2) = \dfrac{30}{2} - 2 = 13 < 5^2 = 25$
  • にとって $n=4$$f_4(5) = \dfrac{210}{5} - 5 = 37 < 7^2 = 49$
  • にとって $n=5$$f_5(35) = \dfrac{2310}{35} - 35 = 31 < 11^2 = 121$
  • にとって $n=6$$f_6(165) = \dfrac{30,030}{165} - 165 = 17 < 13^2 = 169$
  • にとって $n=7$$f_7(663) = \dfrac{510,510}{663} - 663 = 107 < 17^2 = 289$
  • にとって $n=8$$f_8(3094) = \dfrac{9,699,690}{3094} - 3094 = 41 < 19^2 = 361$

これが私が知っていることです:

  • どれか $w$ 未満である必要があります $\sqrt{p_n\#}$
  • がある $2^n$ の約数 $p_n\#$
  • 大きい場合 $n$、少なくともあります $ap_n$ 間の素数 $p_n$ そして $(p_n)^2$$a \ge 1$ そして $a$ 大きくなるほど増加 $n$ベルトランの仮説に基づいています。

編集:

私は、に興味を持っています $w$ここで除数です。以前の質問が不明確だったので、更新しました。

2 answers

1
Keith Backman 2020-01-16 11:03.

推測は誤りです。次の2つの素数を超えて実行できる最善の方法$f_9$ です $f_{10}(79534)=1811>29^2$ そして $f_{11}(447051)=1579>31^2$

1
Keith Backman 2020-03-06 17:51.

この質問は、投稿されてからずっと興味をそそられています。私の考えには、異なる表記法が含まれています。考えます$2^n$ の約数 $p_n\#$$\{d_1,d_2,\dots,d_{(2^n-1)},d_{(2^n)}\}$昇順で配置されます。これらの除数はペアで置くことができます、$d_i$$d_{(2^n-i+1)}$ 各ペアの積が $p_n\#$。インデックスとして$i$ 増加し、近づく $2^{n-1}$、ペアのメンバー間の算術差が減少し、ペアで最小に達します $d_{(2^{n-1})},d_{(2^{n-1}+1)}$。にとって$i\le 2^{n-1}$$d_i<\sqrt{p_n\#}<d_{(2^n-i+1)}$。つまり、各ペアはまたがっています$\sqrt{p_n\#}$

最も内側のペアに焦点を当て、 $d_{(2^{n-1})},d_{(2^{n-1}+1)}$、次の説明では、設定して読みやすさの表記を簡略化しましょう。 $A:=d_{(2^{n-1})},\ B:=d_{(2^{n-1}+1)}$。覚えておいてください$AB=p_n\#$、だから最初のそれぞれ $n$ 素数は、いずれかの因子として1回存在します $A$ または $B$。また、私たちの選択によって$A$ そして $B$、の約数はありません $p_n\#$ の間に $A$ そして $B$。目的は、説明または理解することです$\max {(B-A)}$

どんな要因でも $m$$B$、から削除した場合 $B$ に含める $A$$mA>B \Rightarrow A>\frac{B}{m}$ なぜなら $mA$ の約数です $p_n\#$ の約数はありません $p_n\#$ の間に $A$ そして $B$。したがって、$$B-A<B-\frac{B}{m}=B(1-\frac{1}{m})$$

これが違いの根本的な制限です $B-A$

次へ:どちらか $2\mid B$ またはいくつかの素数があります $p_k\mid B$ そのような $p_{(k-1)}\mid A$。これは、$B$ 素因数が最小で、そうでない場合 $2$、その場合、それは最初の素数ではなく、前の素数の後に続きます。 $A$。注意してください$2\mid B$、要因がない唯一のケース $p_k$$B$ 後継要因 $p_{(k-1)}$$A$ その場合です $B=p_q\#,\ q<n$

ケース1: $B=p_q\#$。そのまれで特別なケースでは、実際に発生した場合は、$m=2$。次に$B-A<B(1-\frac{1}{2})=\frac{B}{2}$

ケース2:一部の人にとって $k$$p_k\mid B \wedge p_{(k-1)}\mid A$。その場合は、$m=\frac{p_k}{p_{(k-1)}}$。この状況では、$m$ の実際の要因ではありません $B$、しかしそれは同じように動作します。これは事実上、の約数のペアを生成します$p_n\#\ $ $A\frac{p_k}{p_{(k-1)}},\ B\frac{p_{(k-1)}}{p_k}$。したがって、$B-A<B\bigl(1-\frac{p_{(k-1)}}{p_k}\bigr)$。ベルトランの仮説から、私たちはそれを知っています$p_k<(1+\epsilon)p_{(k-1)} \Rightarrow \frac{p_{(k-1)}}{p_k}<\frac{1}{1+\epsilon}$。これから私達は見る$B-A<B\bigl(1-\frac{1}{1+\epsilon}\bigr)=B\bigl(\frac{\epsilon}{1+\epsilon}\bigr)$。バートランドが最初に提唱したように、$\epsilon =1$、しかし後の結果はのサイズとしてそれを示しています $p$ 増加し、のサイズ $\epsilon$ 減少します、例えば $\epsilon \le \frac{1}{5000\ln^2 p}$ にとって $p>468991632$。最小化に特に効果的です$\epsilon$ 特定の場合 $p_k$ そして $p_{(k-1)}$ 双子素数であることが識別できます。

要約すると、ほとんどの場合、素数階乗はそれぞれ非常に近い2つの要素に分解可能であると予想する必要があります。 $\sqrt{p_n\#}$、これらの因子の算術的差異は、より大きな因子のごく一部になり、決して超えない $\frac{1}{2}$ その大きな要因の。

特定の場合、おそらく多くの場合でさえ、次の複数の素因数を選択できる可能性があることに注意してください。 $A$ そして $B$ 構築する $m=\frac{\prod(p_i)}{\prod(p_j)}$ これはより大きいが非常に近い $1$。ケースバイケースのブルートフォースを除いて、これが可能なインスタンスを識別するアルゴリズム的な方法はありません。

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