制限 $\lim\limits_{x \to +\infty} \sqrt[n]{(x+a_1)(x+a_2)…(x+a_n)} - x$=?[複製]

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peter.petrov 2019-12-30 11:06.

の限界は何ですか $ f(x) = \sqrt[n]{(x+a_1)(x+a_2)...(x+a_n)} - x$ いつ $x$プラス無限大になりますか?数字$n$ 修正され、 $a_i$ いくつかの定数です。

私が知っているのは答えだけです: $(a_1 + a_2 + ... + a_n) / n$

算術平均で上から根を制限できることがわかりました。そして、これは私に上限としていくつかの素晴らしい表現を与えます。しかしOK ...これは限界が$\leq (a_1 + a_2 + ... + a_n) / n$

しかし、どうすれば同じ値で下から制限できますか。調和平均を使ってみましたが、なかなかうまくいかないようです。だから...何かアイデアはありますか?

3 answers

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aziiri 2019-12-30 11:15.

そのことに注意してください $$(x+a_1)(x+a_2)\cdot (x+a_n)=x^n+ b x^{n-1}+\mathcal{O}(x^{n-2})$$ どこ $b=a_1+a_2+\dots +a_n$、および $$\sqrt[n]{x^n+bx^{n-1}+\mathcal{O}(x^{n-2})}=\left(x^n+bx^{n-1}+\mathcal{O}(x^{n-2})\right)^{1/n}=x \left(1+bx^{-1} +\mathcal{O}(x^{-2})\right)^{1/n}$$ これで、次のテイラー近似を使用できます。 $(1+x)^q$ 周り $x=0$ (これは $1+q x+\mathcal{O}(x^2)$) 取得するため

$$x \left(1+b +\mathcal{O}(x^{2-n})\right)^{1/n}= x\left(1+\frac{b}{n x} +\mathcal{O}(x^{-2})\right)=x-\frac{b}{n } +\mathcal{O}(x^{-1}). $$

このことから、限界は $\frac{b}{n}$

複数の基本ソリューション:レッツ$f(x)=\sqrt[n]{(x+a_1)(x+a_2)\cdot (x+a_n)}$、 ご了承ください

$$\lim_{x\to \infty} \frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to \infty} \sqrt[n]{(1+a_1x^{-1})(1+a_2x^{-1})\cdot (1+a_nx^{-1})}=1\tag{1}$$

ご了承ください

$$f(x)-x=\frac{f(x)^n-x^n}{\sum_{k=0}^{n-1} f(x)^{n-1-k} x^{k}}= \frac{f(x)^n-x^n}{f(x)^{n-1}+f(x)^{n-2}x+\dots+f(x)x^{n-2}+x^{n-1}}$$

分子は次数の多項式です $n-1$ 先行係数が $a_1+a_2+\dots+a_n$、分母はの合計で構成されます $n$ 条項 $f(x)^{n-1-k}x^k$。両方をで割る$x^{n-1}$ 取得するため

\begin{align*}\lim_{x\to \infty}f(x)-x&=\lim_{x\to \infty} \frac{f(x)^n-x^n}{x^{n-1}} \cdot \frac{1}{\frac{f(x)^{n-1}}{x^{n-1}}+\frac{f(x)^{n-2}}{x^{n-2}}+\dots+\frac{f(x)}{x}+1}\\ &=(a_1+a_2+\dots+a_n)\cdot \frac{1}{1+1+\dots+1} \\ & =\frac{a_1+a_2+\dots+a_n}{n}\end{align*}

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xpaul 2019-12-30 11:34.

使用する $$ a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+\cdots+ ab^{n-2}+b^{n-1})$$1つは\ begin {eqnarray} && \ lim \ limits_ {x \ to + \ infty} \ sqrt [n] {(x + a_1)(x + a_2)\ cdots(x + a_n)}-x \\&= &\ lim \ limits_ {x \ to + \ infty} \ frac {(x + a_1)(x + a_2)\ cdots(x + a_n)-x ^ n} {\ sqrt [n] {(x + a_1) (x + a_2)\ cdots(x + a_n)} ^ {n-1} + \ sqrt [n] {(x + a_1)(x + a_2)\ cdots(x + a_n)} ^ {n-2} x + \ cdots + \ sqrt [n] {(x + a_1)(x + a_2)\ cdots(x + a_n)} x ^ {n-2} + x ^ {n-1}} \\&=&\ lim \ limits_ {x \ to + \ infty} \ frac {(a_1 + a_2 + \ cdots + a_n)+ o(\ frac1x)} {n + o(\ frac1x)} \\&=&\ frac {a_1 + a_2 + \ cdots + a_n} {n}。\ end {eqnarray}

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Lukas Rollier 2019-12-30 11:40.

いずれの場合も $a,b \in \mathbb{C}$、 我々は持っています $$a^n-b^n = (a-b)\sum_{i=0}^{n-1} a^i b^{n-1-i}$$

したがって、式を次のように書き直すことができます。 \begin{align*} \sqrt[n]{(x+a_1)\cdots(x+a_n)} - x &= \frac{(x+a_1)\cdots(x+a_n)-x^n}{\sum_{i=0}^{n-1} (\sqrt[n]{(x+a_1)\cdots(x+a_n)})^i x^{n-1-i}} \\ \text{divide by } x^{n-1} \text{ above and below} \\ &= \frac{a_1 + a_2 + \ldots + a_n + \mathcal{O}(x^-1)}{\sum_{i=0}^{n-1} (\sqrt[n]{(x+a_1)\cdots(x+a_n)})^i x^{-i}} \\ &= \frac{a_1 + a_2 + \ldots + a_n + \mathcal{O}(x^-1)}{\sum_{i=0}^{n-1} (\sqrt[n]{\frac{(x+a_1)\cdots(x+a_n)}{x^n}})^i} \\ &= \frac{a_1 + a_2 + \ldots + a_n + \mathcal{O}(x^-1)}{\sum_{i=0}^{n-1} (\sqrt[n]{1+\mathcal{O}(x^{-1})})^i} \end{align*}

今、制限を取ります $x \to \infty$、目的の結果が得られます。

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