更新:誰かがコラッツ予想の直接的な数学的証明に向けた簡単な試みを見ることができますか?

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Francis Laclé 2019-12-29 00:53.

私は以下のフィードバックを探しています、どれでもありがたいです:)

備考

私の数学的経験は非常に初心者であるため、表記法の誤った使用について事前に謝罪します。さらに、説明やアイデアが象徴的ではなく口頭/視覚的であるため、警告の言葉があります。

定義

ウィキペディアから借りたように、コラッツの予想は次のように定義されています。

$ f(n) = \left\{\begin{array}{lr} \frac{n} {2} &\text{if } n \equiv 0 \pmod{2}\\ 3n+1 &\text{if } n\equiv 1 \pmod{2} \end{array}\right. $

どこ ${n \in \mathbb{N}}$ 次の式で与えられるシーケンスを形成します。

$ a_i = \left\{\begin{array}{lr} n & \text{for } i = 0\\ f(a_{i-1}) & \text{for } i > 1 \end{array}\right. $

そして、どの正の整数が最初に選択されたかに関係なく、反復は最終的に1に達すると主張します。

以下のアプローチでは、導入としていくつかの些細な提案から始めて、不可能を試みたいと思います。

命題1

任意の数の偶数の整数の合計は偶数の整数です。

命題2

1つの偶数の整数と2つの奇数の整数の合計は、常に偶数の整数です。

提案3

命題2に続いて、任意の偶数の整数は、1つの偶数の整数と2つの等しい奇数の整数の少なくとも1つ以上の組み合わせの合計です。

提案3の代表的な例は次のとおりです。

$8 = 6 + 1 + 1$

$6 = 4 + 1 + 1$

$4 = 2 + 1 + 1$

命題3が与えられたら、次の命題を紹介できます。

提案4

の結果が ${3n + 1}$ ために $n\equiv 1$ は常に偶数の整数であるため、最初の項が奇数で、2番目と3番目の項が偶数である3つのグループで構成される式として操作を書き直すことができます。

$(1 + 3n) = (1 + n) + 2n = (1 + n) + n + n$

命題5:同様に、$\frac{n} {2}$ ために $n\equiv 0$ は常に偶数の整数であるため、命題3を使用して、さらに展開する追加の演算を導出できます。 $n$ 3つのグループで構成される式に:

$n = \frac{n + 2}{3} + \frac{n - 1}{3} + \frac{n - 1}{3}$

備考

これが試みであることを考慮して、現在、上記の中間ステップがより良い数学的解法を待つ間、すべての項に対して整数を生成しなければならないという制約を無視しています。実際の例を試してみると、命題3がおそらく正しいと考えることができます。この中間ステップは、除算の前に2番目のステップ(式2)によって補完されます。$n$ 沿って $2$ 整数の結果を生成することが行われます。

提案6:

しましょう $p$正の奇数の整数になります。提案3と4から、$n\equiv 1$ の結果 $f(n)$、偶数の整数を返します $p_e$ 3つの用語に分けられ、1つのグループは均等な操作を示します ${p + 1}$ 残りの2つのグループは奇数項です ${p}$。コラッツ関数を反復するために、最初の偶数演算の各半分を残りの2つの奇数演算に追加するだけで、次の式が得られます。$odd + odd$ または $even + even$ 整数:

式1:

${p + 1} + p + p = \left(\frac{p + 1}{2} + p\right) + \left(\frac{p + 1}{2} + p\right) = \left(\frac{3p + 1}{2}\right) + \left(\frac{3p + 1}{2}\right) = p_e.$

提案7:

他の場合は $p$正の偶数を示します。提案3と5から、分割することもできます$p$ 3つの用語に分けられ、1つのグループは均等な操作を示します ${p + 2}$ 残りの2つのグループは奇妙な操作です ${p - 1}$。前の場合と同様に、最初の偶数演算の各半分を残りの2つの奇数演算に追加するだけで、次のような式が得られます。$odd + odd$ または $even + even$ 整数:

式2:

$\frac{p + 2}{3} + \frac{p - 1}{3} + \frac{p - 1}{3} = \left(\frac{p + 2}{6} + \frac{p - 1}{3}\right) + \left(\frac{p + 2}{6} + \frac{p - 1}{3}\right) = \frac{p}{2} + \frac{p}{2} = p_e.$

偶数の場合を続けると、除算できます $p_e$ 沿って $2$ 結果に応じて式1または2を繰り返します。

補題: 両方の場合を考えると$f(n)$ これで、1つの偶数の整数項と2つの奇数の整数項の合計として定義できます(命題5の場合、当面は分子のみ)。上記の式を使用して、次の結果を示すことができます。 $3n + 1$ そして $\frac{n}{2}$ 第1項を第2項と第3項に均等に分配するという同じ原則に従います。 $f(n)$ 繰り返します。

リマーク:

証明が表記上型破りである場合は、再度お詫び申し上げます。

証明(試行): 上記から、2つの洞察を導き出すことができます。すなわち(1)それは明らかです$f(n)$は、偶数のカーディナリティーの1つのセットを奇数のカーディナリティーの他の2つのセットに均等に分散する反復プロセスであることが示されています。この洞察から次のようになります(2)ここで結果$\frac{p_e}{2} \ge p$、したがって、その分割を直感的に示します $2$ 意志 $always$ その結果、最小値が1に達し、その結果、サイクル(4; 2; 1)が無限に繰り返されます。

直感:

奇数の整数があるとします $7$ 命題4を適用すると、 $22$。式1を使用して、整数を次の3つのベクトルのセットに分割できます。

$\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} $

ここで、8つの要素の偶数ベクトルを2つの別々の等しいセットに分割しましょう。

$ \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} $

次に、新しい各セットを既存のスタックに追加します。

$ \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} $

2つの等しいベクトルがあるときはいつでも、2で割ることができます。つまり、1つを破棄します。

$ \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} $

このベクトルには奇数の要素(11)があるため、命題4を再度適用する必要があり、プロセスが繰り返されて、最終的に17、26、13、20、10、5、16、8、4、2、1に到達します。

商が偶数の場合、命題5が適用されることに注意してください。

1 answers

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masiewpao 2019-12-29 03:31.

私はいくつかの主張を理解していないという点で、コメントの中でいくつかの懸念を共有しています。また、あなたの試みには、フォローするのを難しくするいくつかの小さな問題があると思います。たとえば、補題1がわかりません。定理3は技術的に正しくなく、4以上の整数にのみ適用され、偶数の整数には適用されません。また、定理3の問題については、定理2から派生していると主張するのが正しいかどうかはわかりません(4より大きい整数の場合は自明に証明できますが、定理2は必要ありません)。後者の2つのステートメントは、ロジックに直接影響しません(私は思います)が、これらが正確であることを確認することは役に立ちます。

この試みの最初の大きな問題は、私があなたの発言に同意しないということです。用語が偶数/奇数(したがって整数)であるかどうかは絶対に重要です。これに対処するあなたの提案された証明には何のステップも見当たりません。具体的には、パリティがそれらの用語に適用可能なプロパティであることを示すことなく、証明の用語のパリティに関する結果を使用します。簡単な例として、$n = 12$、そしてそれに注意してください $\frac{12+2}{3}$整数ではありません。これは本当に重要です。なぜなら、このプロパティを使用して、のパリティについて結論を出すからです。$f(n)$。具体的には、結果は常に2つの奇数または2つの偶数の合計であると主張することになります。上記の結果を定義する用語のパリティが定義されていないため、これは正しくありません。あなたはまた言い続けます:

偶数と奇数の両方のケースが等しい演算受けて偶数の整数になることが示されているので、除算できます$p_e$2ずつ進み、コラッツの反復を続けます。「」

私が完全に誤解していない限り、これは些細なことです。2番目のケースでは、任意のものを検討します$p$それは偶数パリティを持っています。それは正しくありません$f(p)$その後、パリティもあります。考えてみてください$p=10$ 例えば。

最後に、私はあなたの結論に従わない。たとえば、次のような場合について話し合うとき$p$ 奇妙です、それは言うことと同等です $3p + 1 > p + 1$。これはもちろん真実ですが、それは完全に些細なことでもあります。シーケンスの収束についての洞察は得られません$1$。いつの主張$p$同様に些細なことです。おそらく私はあなたがここで言おうとしていることを誤解しました。最終的に、あなたの最終的な主張:

最終的に反復が1に達することを可能にし、その結果、サイクル(4; 2; 1)を無限に繰り返します。

前のステートメントからは続きません。

私もあなたの直感のセクションを理解しようとしました、そして私はあなたが何をしているのか理解していると思います。ただし、単に反復ステップを適用しているだけですが、これは実際にはシーケンスの収束についての洞察を与えません!

OPの編集に応じて編集:あなたの再構築された議論はすぐに私の批判のいくつかを非常に明確にします。命題5で命題3を使用していないことに注意することが重要です。命題5では、任意のものを想定しています。$n$偶数パリティの。検討する$n = 14$、そしてあなたの表現を考えてください $n$$14 = \frac{14+2}{3} + \frac{14-1}{3} + \frac{14-1}{3} = \frac{16}{3} + \frac{13}{3} + \frac{13}{3}$。この式では、これらの個々の用語はいずれも整数ではありません。これが命題3の適用ではない理由がわかりますか?

繰り返しますが、あなたの発言は単に間違っています!問題をヒューリスティックに理解することと、その問題を証明することを区別することが重要です。おそらく本当は単にそれをカットしません!あなたはそれを示したか、見せなかったかのどちらかであり、この場合は見せていません。また、「実際の例を試してみると、命題3がおそらく真であると推論できる」と言うときは完全に正しくありません。これは、この命題が実際に真であるためです(これを確認するには、偶数から2を引くだけです)。最後に、用語が整数ではないという事実は重要ではないと単純に主張することはできません。この事実を(あなたが持っている)証明に使用する場合、それは重要です。

私は残りの証拠を読み通そうとしました、そして編集はあなたの考えを少し明確にするのを助けましたが、私の最初の批判はまだ残っています。実際、私は今、さらにいくつかの問題を目にしています。たとえば、何の間の不一致$p_e$命題6と7の間の表現は混乱しています。前者ではそれはの値です$f(p)$、後でそれは $p$。また、次のような文の使用も嫌いです。

上記から、2つの洞察を導き出すことができます。つまり、(1)𝑓(𝑛)は、1セットの偶数カーディナリティを他の2セットの奇数カーディナリティに均等に分散する反復プロセスであることが示されています。

カーディナリティ、セット、グループ(質問で使用したもの)などの用語には、正確な数学的意味があります。これらの用語を使用すると、証明を追跡するのが非常に困難になります。

最終的に、この証明に関するあなたの主な問題は、私が最初の答えで言ったことです:根拠のない結論。あなたの結論はあなたの以前の声明に従わない。アップデートでは、「直感」という言葉も使用します。これは証拠としての資格がありません!以前のすべての議論が健全であったとしても、証明の試みにおける最終的な意味合いは完全に不当です。

コメントで言ったように、そのようなことを証明しようとするのは楽しいかもしれませんが、この推測を証明する問題がどれほど深いかを理解する必要があります。あなたの証明の試みについての「メタポイント」は、その中のほとんどすべてが些細なステートメント、またはそれらのステートメントの誤用であったということです。そのため、コラッツの予想を証明したことはほぼ間違いありません。(そしてそれはあなたにもノックではありません!)

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