理解できない '無関心の基準は、 $1p_1=2p_2=3p_3$。」

2
Idonknow 2019-12-28 16:43.

次の問題は、MarkJoshiのクオンツ面接本から抜粋したものです。

「私はから番号nを選びます $1$$100$。あなたが正しく推測すれば、私はあなたに支払います$\$n $、それ以外の場合はゼロ。このゲームをプレイするのにいくら払うの?」

質問はで答えられました https://math.stackexchange.com/a/3243566/54398。そこで答えの一部を再現しました。

直感的には、最適な戦略では、ピッカーは推測者が選択するものに無関心である必要があります。

簡単にするために$ n = 3 $を取ると仮定します。ピッカーが選択すると仮定$ 1 $確率で$ P_1 $、選択$ 2 $確率で$ P_2 $、および$ 3 $確率との$ P_3 $を$ p_1、p_2、p_3 $の選択は、ピッカーの戦略を構成します。

無関心基準は、$ 1p_1 = 2p_2 = 3p_3 $を意味します。

最後の太字がわかりません。無関心基準が$ 1p_1 = 2p_2 = 3p_3 $を意味するのはなぜですか?これは無関心であることの定義ですか?

1 answers

1
antkam 2019-12-29 09:07.

ある意味、それが定義です。または、より正確には、無関心の原則は次のように述べています。

無関心の原則:ピッカーは自分の選択をランダム化するものとします(このゲームでは:隠された数$n$)st推測者が何をしても(このゲームでは:推測値 $G \in \{1,2,\dots,100\}$)、期待されるペイオフは同じです(このゲームでは、期待されるペイオフは独立しています $G$)。

次に、この特定のゲームの場合、推測の予想される見返りから $G$ です $G\times Prob(G=n) = G \times p_G$、無関心の原理は式になります $1 p_1 = 2 p_2 = 3 p_3 = \cdots$

それであなたの質問に答えます:はい、それは定義であり、むしろ定義の直接の直接の結果です。


あなたが尋ねなかった根本的な質問は、なぜピッカーは無関心の原則を採用する必要があるのか​​ということです。つまり、なぜ無関心が「最適な」戦略なのか?

ピッカーが推測者の個人的な傾向についてある程度の洞察を持っている場合、ピッカーは推測者を失敗させるために別のことをする可能性があります。たとえば、ピッカーが推測者が数学が苦手で、推測する可能性が高いことを知っている場合$100$ すべての数字が同じように発生する可能性が高く、その数字が正しい場合に最も多く支払うと考えると、ピッカーはピッキングによって推測者を失敗させることができます $1$。しかしもちろん、推測者はそれを知っていれば、$1$、およびピッカーは、それを知っているので、ピッキングした可能性があります$2$ 代わりに、など。これは思考と二重思考のゲームに変わります。

無関心の原則はこれをすべて回避します。基本的に、ピッカーは最悪の場合の「メタ」シナリオを想定しています。つまり、推測者はピッカーの確率数を知っています。$p_i$ すべてのために $i$。おそらく、推測者はスパイを持っているか、心を読むことができるか、数学と論理が本当に得意です。この最悪のシナリオでは、ピッカーが実行できる最善の(最適な)方法は、無関心の原則を採用することです。ピッカーが他のことをした場合、推測者(すべてを知っている)$p_i$ 値)それを失敗させ、推測することによってより高い期待される見返りを得ることができます $G= \arg\max_i i p_i$

無関心の原理は、じゃんけんで説明するのがさらに簡単です。確かにthink-vs-double-thinkとしてプレイすることはできますが、ほとんどの人(?)は無関心の原則を採用しようとします$p_R=p_P=p_S = 1/3$ stどの対戦相手も追加の利益を得ることができません。

無関心の原則は何かをあきらめることに注意してください。本当に良い相手からの保護の見返りに、あなたは本当に悪い相手を悪用する機会をあきらめます。たとえば、対戦相手が常にロックをプレイしている場合(または常に推測している場合)$100$)、あなたの無関心の原則は依然として同じ期待される見返りを与えるでしょう-そしてある意味で、あなたの対戦相手を「オフフック」にします。つまり、前述の「最悪のメタシナリオ」では無関心が最適ですが、相手の(確率的)戦略を事前に知っていれば最適ではないかもしれません。

あなたはこれについてもっと多くを読むことができます https://en.wikipedia.org/wiki/Nash_equilibrium

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