積分有理関数は局所的に有界です

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Don 2019-12-19 13:55.

次の問題を解決するのに問題があります。

「しましょう $X$ アフィン多様体である $\mathbb{C}$。で示す$\mathbb{C}[X]$ その座標リング、およびによって $\mathbb{C}(X)$ その有理関数の分野(そう $\mathbb{C}(X)$ の分数のフィールドです $\mathbb{C}[X]$)。

場合 $f \in \mathbb{C}(X)$ 上に不可欠です $\mathbb{C}[X]$ (つまり、次の係数を持つモニック多項式の根です。 $\mathbb{C}[X]$)、その後、すべての $x \in X$ オープンな近所があります $U$$x$$X$通常のユークリッドトポロジーでは)と定数$C > 0$ そのような $$|f(z)| \leq C$$ すべてのための $z \in U \cap \text{dom }f$。」

最大絶対値の原理を使用することはヒントとして与えられていますが、その結論はまったく逆であるため、私には奇妙に聞こえます...

どんな助けでも大歓迎です。

1 answers

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Slup 2019-12-20 17:51.

アフィン空間を考慮してください $\mathbb{C}^n\times \mathbb{C}^n$ 代数多様体を定義します $$Z = \{(x_1,...,x_n,a_0,...,a_{n-1})\in \mathbb{C}^n\times \mathbb{C}^n\,|\,\forall_{1\leq i\leq n}\,x_i^n+a_{n-1}x_i^{n-1}+...+a_1x_i+a_0=0\}$$ 定義する $\pi:Z\rightarrow \mathbb{C}^n$ 投影の制限として $$\mathbb{C}^n\ni (x_1,...,x_n,a_0,...,a_{n-1})\mapsto (a_1,...,a_{n-1})\in \mathbb{C}^n$$$Z$。あなたは説明することができます$\pi$ カノニカルによって $\mathbb{C}$-代数射 $$\pi^*:\mathbb{C}[a_0,...,a_{n-1}]\rightarrow \mathbb{C}[x_1,...,x_n,a_0,...,a_{n-1}][x_1,...,x_n,a_0,...,a_{n-1}]_{/(x_i^n+a_{n-1}x_i^{n-1}+...+a_1x_i+a_0\,|\,1\leq i\leq n)}$$ この説明から、次のようになります $\pi$は、複雑な代数多様体の有限型の射です。特に、これは$\pi$射射射です。したがって、閉埋め込みがあります$i:Z\rightarrow \mathbb{P}^N_{\mathbb{C}}\times \mathbb{C}^n$ そして $\pi$ としての要因 $i$ 投影で構成 $\mathbb{P}^N_{\mathbb{C}}\times \mathbb{C}^n \rightarrow \mathbb{C}^n$今では、ザリスキートポロジーと複雑な代数多様体についてのすべてを忘れており、複雑な分析設定とユークリッドトポロジーで作業しています。以来$\pi$ は、射影を伴う複雑な分析空間の閉埋め込みの構成です。 $\mathbb{P}^N_{\mathbb{C}}\times \mathbb{C}^n$ コンパクト空間である軸に沿って、私たちはそれを推測します $\pi$(ユークリッドトポロジーの)固有写像です。したがって、$K$ のコンパクトなサブセットです $\mathbb{C}^n$、私たちはそれを導き出します $\pi^{-1}(K)$コンパクトです。これは、サブセットが

$$\pi^{-1}(K) = \{(x_1,...,x_n,a_0,...,a_{n-1})\in \mathbb{C}^n\times \mathbb{C}^n\,|\,\forall_{1\leq i\leq n}\,x_i^n+a_{n-1}x_i^{n-1}+...+a_1x_i+a_0=0\}\cap \{(a_0,...,a_{n-1})\in K\}$$ コンパクトであるため、 $\mathbb{C}^n\times \mathbb{C}^n$

今考えてみましょう $f, X$あなたの質問のように(しかし、複雑な分析設定でそれらを考えてください)。次に $$f^n + p_{n-1}f^{n-1}+...+p_1f+p_0=0$$ 一部の多項式関数の場合 $p_{n-1},...,p_1,p_0$。すべてのポイントについて$x\in X$ 開いた有界ユークリッドサブセットを選択します $U,V\subseteq X$ そのような $$x\in U\subseteq \textbf{cl}(U)\subseteq V$$ 多項式関数なので $p_{n-1},...,p_1,p_0$ コンパクトセットに制限されている場合、 $$(p_{0}(z),...,p_{n-1}(z))\in K$$ すべてのための $z\in \textbf{cl}(U)$ コンパクトなサブセットの場合 $K\subseteq \mathbb{C}^n$。それぞれについて注意してください$z\in U\cap \mathrm{dom}(f)$$f(z)$ の点の座標です $\pi^{-1}(K)$。確かに、私たちは持っています

$$f(z)^n + p_{n-1}(z)f(z)^{n-1}+...+p_1(z)f(z)+p_0(z)=0$$

以来 $\pi^{-1}(K)\subseteq \mathbb{C}^n\times \mathbb{C}^n$ 有界である、私たちはそれを導き出します $f$ に制限されています $U\cap \mathrm{dom}(f)$

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