立方根システムの単位

2
wendy.krieger 2019-12-19 11:16.

ペル方程式に似た、行列式が1のこの形式の行列を解くアルゴリズムを見つけようとしています。

x  nz  ny
y   x  nz
z   y   x

このような行列は、nの立方根に急速に収束します。示されている行列では、zは分数であり、いくつかのmで割り切れることが許可されています。ここで、m³はn²を除算します。たとえば、

n = 12、x = 55、y = 24、z = 10.5が機能します。

非常に大きいものもあります:n = 1260、x = 172226251、y = 15945660、z = 146337.5

1 answers

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O. S. Dawg 2019-12-21 18:01.

あなたの問題に対する文明的なアプローチは、コメントで述べられているように、組み込みのPari / gp関数を使用して基本単位の累乗を計算することです。より遊び心のあるアプローチは、次のスクリプトを実行して、3次ペル方程式の解を見つけることです。$x^3+Ny^3+N^2z^3-3Nxyz=1$ N = 1260の場合。

このアルゴリズムについては、おそらくここで注目に値するいくつかの所見があります。まず、希望する形式の有理行列を簡単に見つけることができます。これを確認するには、次の手順に従います。行列式1の解を見つける途中で、2つを記録します。$(x,y,z)$等しいノルムを持つトリプル(存在する場合)。次に、これらのトリプルを特別な行列形式に入れ、大きい方に小さい方の逆数を掛けます。結果は、すべての有理数のエントリを持つ行列式の行列です。たとえば、$n=25$ 28の反復3と13で、トリプルのペアを取得します $(8,3,1)$ そして $(38483,13161,4501)$ ノルム12を持っています。ノルム1の結果として得られる有理数は次のとおりです。 $(6079/4,2079/4,711/4)$

第2に、アルゴリズムは2次元の非マルコフ連分数アルゴリズムですが、「メモリ」要件は、以下のコードを見て推測できるほど重要ではありません。実験では、たとえば10桁のデフォルトの実際の精度で行列BをB = 1.0 * Aに初期化すると、まったく同じ結果が得られることが示唆されています。したがって、Bを格納するためのメモリ要件と、Bを更新するために必要な計算量の両方が、以下で使用されるものよりもかなり小さくなります。

第三に、の事前計算 $n^{1/3}$必要ありません。以下のスクリプトで、ベクトルDを、上記の優れた収束特性を持つ行列D 'の累乗に置き換えます。必要に応じて、(左乗算によって)さらに累乗を追加します。上記の有理数のエントリを持つ行列は、他の行列と同様にここで役立ちます。

最後に、実験は、中間近似の基準が常に近いものよりも小さいことを示唆しています $n^6$。この事実により、計算が大幅に高速化される場合があります。

A_tmp=[[0, 0, 0; 1, 0, 0; 0, 1, 0], [1, 0, 0; 0, 0, 0; 0, 1, 0]];   B_tmp=A_tmp;    

A=matid(3); B_inv=A;    B=A;

alpha=vector(2);

default(realprecision,1000);

N=1260;

alpha[1]=N^(1/3);   alpha[2]=N^(2/3);

D=vector(3);

D[1]=10^990;

for(i=2,3,D[i]=round(D[1]*alpha[i-1]));

done=0;

while(!done,

    for(i=1,2,
        for(j=1,3,A_tmp[i][j,3]=D[j]\D[i]);
        B_tmp[i]=A_tmp[i]^(-1);
    );

    B_szs=vector(2,i,norml2(B_tmp[i]*B));

    B_szs_prm=vecsort(B_szs,,1);

    idx=B_szs_prm[1];

    A=A*(A_tmp[idx]);

    B=(B_tmp[idx]*B);

    D=D*(B_tmp[idx])~;

    done=(1==A[3,3]^3+N*A[2,3]^3+N^2*A[1,3]^3-3*N*A[1,3]*A[2,3]*A[3,3]);
);

print(A[,3]~);      

1/16を追加:

私はあなたに役立つかもしれない次の参照を見つけました:

CLE Wolfe、不定三次方程式についてx 3 + Dy 3 + D 2 z 3 − 3Dxyz = 1、Univ。カリフォルニアのパブ。数学。1(1923)いいえ。16、359–369。入手可能な場所:ミシガン大学歴史数学コレクションhttp://quod.lib.umich.edu/u/umhistmath/ACH6090.0001.001/381

上記のアルゴリズムのチェックとして、最初の100個のソリューション(672ミリ秒)を計算し、その結果を上記の論文で示したソリューションと比較しました。72と82に与えられた解決策は間違っているようです。D = 85の場合、より小さな解決策を見つけます。

72:1263601、303738、73011

82:19481839755856966061390701、4484272707726892450472280、1032176733268676625192495

85:658895013725266441、149856842965183254、34082931143344968

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