不均等な確率と不均一な数のアイテムが必要なクーポンコレクターのバリエーション

2
Matunga 2019-12-13 19:27.

これが負の二項分布の問題なのか、クーポンコレクターの問題のバリエーションなのかはわかりません。

ここに問題があります。あなたが家を建てたいと思っていて、それを建てるには特定の種類と特定の数のアイテムが必要だと言いました。あなたが必要だと考えましょう

レンガ $- ~4$

セメント $-~ 1$

金属 $- ~1$

砂利 $- \ 1$

木材 $-\ 2$

さて、これらのアイテムを入手するには、ロッカーを開く必要があり、開くたびに1つのアイテムしか入手できません。また、ロッカーにはまったく必要のないアイテム、つまりフェザーが含まれていることを知っておいてください。以下はそれらの確率です

(簡単にするためにイニシャルを使用しましょう)

B-30%

C-5%

F-10%

G-10%

M-35%

W-10%

ここでの質問は、家を建てたい場合にロッカーを開けなければならない平均回数です。

これを解決するために私が考えた方法は、最初にタイプに必要なアイテムの数に期待される数を掛けることです。 $\frac{1}{probability}$ そのアイテムのために(例えば。 $3.33$ レンガの回数に必要な数を掛けたもの $4$)そして、必要なすべてのタイプの材料を足し合わせます。私はこの種の問題があまり得意ではないので、私を導いてください。

4 answers

1
Ross Millikan 2019-12-13 19:58.

対称性がないため、注意深い分析は困難です。1つのアイテムがまれな場合は、そのアイテムを入手するまでに、残りのすべてのアイテムが十分にあると見なすことができます。ここでは、セメントと木材の両方が平均して必要です$20$ あなたが必要なものをあなたに与えるためのロッカー。

セメントと木材の両方がまれであるため、セメントを入手すると木材を入手できないという事実から生じる相関関係は無視します。次に開くと$n$ ロッカーあなたがセメントを手に入れたチャンスは $1-0.95^n$。あなたが2つ以上の木を手に入れた可能性は$1-0.9^n-n\cdot 0.1 \cdot 0.9^{n-1}$。簡単な計算は何ですか$n$ これらの製品が超過することを保証します $0.5$、両方を取得するための予想試行回数に近くなります。お願いできますhttps://www.wolframalpha.com/input/?i=%281-0.95%5En%29%281-0.9%5En-n*0.1%20*0.9%5E%28n-1%29%29%3D0.5 でしきい値を超えることを学びます $n=24$

1
saulspatz 2019-12-13 21:00.

コメントで述べたように、これは有限状態として分析することができます https://en.wikipedia.org/wiki/Absorbing_Markov_chain ウィキペディアの記事では、「予想されるステップ数」というタイトルのセクションで計算について説明しています。

これを行うためにPythonスクリプトを作成しました。

from itertools import product
import numpy as np

needs = [4,1,1,1,2]
probs = [0.3,0.05,0.1,0.35,0.1]

P = np.zeros((120,120))
index = { }
states = list(product(range(5),range(2),range(2),range(2),range(3)))
for idx, state in enumerate(states):
    index[state] = idx
    P[idx, idx] = .1
for idx, state in enumerate(states):
    for i in range(5):
        j = state[i] if state[i] >= needs[i] else state[i]+1
        target = tuple(state[k] if k != i else j for k in range(5))
        tgt = index[target]
        P[idx, tgt] += probs[i]

Q=P[:-1,:-1]
N = np.linalg.inv(np.eye(119)-Q)
t = N.sum(axis=1)
print(f'Expected number of lockers: {t[0]}')

これにより、出力が生成されました

Expected number of lockers: 31.374487169390555
1
awkward 2019-12-14 08:00.

1つのアプローチは、指数母関数(EGF)を使用してロッカーの予想数を見つけることです。関数の生成に慣れていない場合は、この質問への回答に記載されているリソースのいくつかに興味があるかもしれません。https://iquestion.pro/q/ma16140184/kansu-no-seisei-nitsuite-dono-yoni-manabu-koto-ga-dekimasu-ka

最初に、確率で重み付けされた4つのレンガ、1つのセメントバッグなどを見つける方法の数についてEGFを見つけます。

4つ以上のレンガのEGFは $$\begin{align} F_B(x) &= \frac{1}{4!} 0.3^4 x^4 + \frac{1}{5!} 0.3^5 x^5 + \frac{1}{6!} 0.3^6 x^6 + \dots \\ &= e^{.0.3 x} - 1 - 0.3 x - \frac{1}{2!} 0.3^2 x^2 - \frac{1}{3!} 0.3^3 x^3 \end{align}$$ セメントの1つまたは複数のバッグのEGFは $$\begin{align} F_C(x) &= 0.05 x + \frac{1}{2!} 0.05^2 x^2 + \frac{1}{3!} 0.05^3 x^3 + \dots \\ &= e^{0.05 x} - 1 \end{align}$$ 羽毛の0個以上のバッグのEGFは $$\begin{align} F_F(x) &= 1 + 0.1 x + \frac{1}{2!} 0.1^2 x^2 + \dots \\ &= e^{0.1 x} \end{align}$$ (パターンが表示されることを願っていますので、もう少し速く移動します...)

砂利の1つまたは複数のバッグのEGFは $$F_G(x) = e^{0.1 x} - 1$$ 1つまたは複数の金属用 $$F_M(x) = e^{0.35 x} -1$$ 2つ以上の木材用 $$F_W(x) = e^{0.1 x} - 1 - 0.1 x$$ これらの予備知識が邪魔にならないので、次のシーケンスの確率のEGFを見つける簡単な方法があります。 $n$ ロッカー(必ずしもそのようなものではありません $n$)必要なすべての資料があります。 $$g(x) = F_B(x) \cdot F_C(x) \cdot F_F(x) \cdot F_G(x) \cdot F_M(x) \cdot F_W(x)$$ つまり、の係数 $(1/n!) \; x^n$$g(x)$ 確率です $p_n$ 開封時または開封前に完全な資料セットがあること $n$thロッカー。

それでは、定義しましょう $T_n$私たちが最初に材料の完全なセットを持っているロッカーの数として。次に$P(T_n > n) = 1-p_n$。定義しましょう$q_n = 1-p_n$; 次にのEGF$q_n$ です $e^x - g(x)$。よく知られている定理により、$$E(T_n) = \sum_{n=0}^{\infty} P(T_n > n) = \sum_{n=0}^{\infty} q_n$$

この合計はEGFから見つけることができます $q_n$ アイデンティティを利用することによって $$\int_0^{\infty} x^n e^{-x} \; dx= n!$$ そこから $$E(T_n) = \int_0^{\infty} e^{-x}(e^x - g(x)) \; dx$$ 数学におけるこの積分の数値評価は、 $$E(T_n) = 31.3745$$

0
joriki 2019-12-14 14:40.

いくつかの素晴らしい答えがすでに提供されています。を使用してこれを行うこともできますhttps://en.wikipedia.org/wiki/Inclusion%E2%80%93exclusion_principle

満たすべき5つの条件があります。つまり、5つの材料のそれぞれに必要な量を取得することです。で示す$N$5つの条件を満たすために必要なロッカーの数。で示す$N_i$ 条件を満たすために必要なロッカーの数 $i$、 沿って $N_{ij}$ 少なくとも1つの条件を満たすために必要なロッカーの数 $i$ そして $j$、 等々。次に、包含-除外によって

$$ P(N\gt n)=\sum_iP(N_i\gt n)-\sum_{\{i,j\}}P(N_{ij}\gt n)+\sum_{\{i,j,k\}}P(N_{ijk}\gt n)-\cdots\;. $$

まとめる $n$ 期待に対応する式を生成します。

$$ E[N]=\sum_iE[N_i]-\sum_{\{i,j\}}E[N_{ij}]+\sum_{\{i,j,k\}}E[N_{ijk}]-\cdots\;. $$

で示す $m_i$ 材料の量 $i$ 必要とによって $p_i$ 材料を入手する確率 $i$ ロッカーで。

次に $E[N_i]=\frac{m_i}{p_i}$。同様に、$m_i=m_j=1$、その後 $E[N_{ij}]=\frac1{p_i+p_j}$、 で、もし $m_i=m_j=m_k=1$、その後 $E[N_{ijk}]=\frac1{p_i+p_j+p_k}$

場合 $m_i\gt1$ そして $m_j=1$、その後

$$ P(N_{ij}\gt n)=\sum_{l=0}^{m_i-1}\binom nlp_i^l(1-p_i-p_j)^{n-l} $$

そして

\ begin {eqnarray *} E [N_ {ij}]&=&\ sum_ {n = 0} ^ \ infty P(N_ {ij} \ gt n)\\&=&\ sum_ {n = 0} ^ \ infty \ sum_ {l = 0} ^ {m_i-1} \ binom nlp_i ^ l(1-p_i-p_j)^ {nl} \\&=&\ sum_ {l = 0} ^ {m_i-1} \ left (\ frac {p_i} {1-p_i-p_j} \ right)^ l \ sum_ {n = 0} ^ \ infty \ binom nl(1-p_i-p_j)^ n \\&=&\ sum_ {l = 0} ^ {m_i-1} \ left(\ frac {p_i} {1-p_i-p_j} \ right)^ l \ frac {(1-p_i-p_j)^ l} {(p_i + p_j)^ {l +1}} \\&=&\ frac1 {p_i + p_j} \ sum_ {l = 0} ^ {m_i-1} \ left(\ frac {p_i} {p_i + p_j} \ right)^ l \\& =&\ frac1 {p_j} \ left(1- \ left(\ frac {p_i} {p_i + p_j} \ right)^ {m_i} \ right)\;。\ end {eqnarray *}

必要な材料が複数含まれている場合でも、計算は基本的に同じです。 $1$、例えば $j$ そして $k$$m_j=m_k=1$、と $p_j+p_k$ の役割を果たす $p_j$ 上記:

$$ E[N_{ijk}]=\frac1{p_j+p_k}\left(1-\left(\frac{p_i}{p_i+p_j+p_k}\right)^{m_i}\right)\;. $$

要件に任意の数の条件を含めるこの方法を念頭に置いて $1$、 やろう $m_i\gt1$$m_j\gt1$$m_k=1$ すぐに含まれ、設定することができます $p_k=0$ ただの結果を得るために $m_i\gt1$$m_j\gt1$ 一人で:

$$ P(T_{ijk}\gt n)=\sum_{l=0}^{m_i-1}\sum_{r=0}^{m_j-1}\binom nk\binom{n-k}rp_i^lp_j^r(1-p_i-p_j-p_k)^{n-l-r}\;, $$

したがって

\ begin {eqnarray *} E [N_ {ijk}]&=&\ sum_ {n = 0} ^ \ infty P(T_ {ijk} \ gt n)\\&=&\ sum_ {n = 0} ^ \ infty \ sum_ {l = 0} ^ {m_i-1} \ sum_ {r = 0} ^ {m_j-1} \ binom nk \ binom {nk} rp_i ^ lp_j ^ r(1-p_i-p_j-p_k)^ {nlr} \\&=&\ sum_ {l = 0} ^ {m_i-1} \ sum_ {r = 0} ^ {m_j-1} \ frac {p_i ^ lp_j ^ r} {(1-p_i-p_j -p_k)^ {l + r}} \ sum_ {n = 0} ^ \ infty \ binom nk \ binom {nk} r(1-p_i-p_j-p_k)^ n \\&=&\ sum_ {l = 0} ^ {m_i-1} \ sum_ {r = 0} ^ {m_j-1} \ frac {p_i ^ lp_j ^ r} {(1-p_i-p_j-p_k)^ {l + r}} \ binom { l + r} l \ frac {(1-p_i-p_j-p_k)^ {l + r}} {(p_i + p_j + p_k)^ {l + r + 1}} \\&=&\ frac1 {p_i + p_j + p_k} \ sum_ {l = 0} ^ {m_i-1} \ sum_ {r = 0} ^ {m_j-1} \ binom {l + r} l \ left(\ frac {p_i} {p_i + p_j + p_k} \ right)^ l \ left(\ frac {p_j} {p_i + p_j + p_k} \ right)^ r \;。\ end {eqnarray *}

今、私たちは私たちのすべての材料を持っています $31$-期間の包含-除外の合計:

$$ E[N]= \frac4{\frac3{10}} +\frac1{\frac1{20}} +\frac1{\frac7{20}} +\frac1{\frac1{10}} +\frac2{\frac1{10}} -\frac1{\frac1{20}}\left(1-\left(\frac{\frac3{10}}{\frac3{10}+\frac1{20}}\right)^4\right) -\frac1{\frac7{20}}\left(1-\left(\frac{\frac3{10}}{\frac3{10}+\frac7{20}}\right)^4\right) -\frac1{\frac1{10}}\left(1-\left(\frac{\frac3{10}}{\frac3{10}+\frac1{10}}\right)^4\right) -\frac1{\frac1{20}}\left(1-\left(\frac{\frac1{10}}{\frac1{10}+\frac1{20}}\right)^2\right) -\frac1{\frac7{20}}\left(1-\left(\frac{\frac1{10}}{\frac1{10}+\frac7{20}}\right)^2\right) -\frac1{\frac1{10}}\left(1-\left(\frac{\frac1{10}}{\frac1{10}+\frac1{10}}\right)^2\right) -\frac1{\frac1{20}+\frac7{20}} -\frac1{\frac7{20}+\frac1{10}} -\frac1{\frac1{10}+\frac1{20}} +\frac1{\frac1{20}+\frac7{20}}\left(1-\left(\frac{\frac3{10}}{\frac3{10}+\frac1{20}+\frac7{20}}\right)^4\right) +\frac1{\frac7{20}+\frac1{10}}\left(1-\left(\frac{\frac3{10}}{\frac3{10}+\frac7{20}+\frac1{10}}\right)^4\right) +\frac1{\frac1{10}+\frac1{20}}\left(1-\left(\frac{\frac3{10}}{\frac3{10}+\frac1{10}+\frac1{20}}\right)^4\right) +\frac1{\frac1{20}+\frac7{20}}\left(1-\left(\frac{\frac1{10}}{\frac1{10}+\frac1{20}+\frac7{20}}\right)^2\right) +\frac1{\frac7{20}+\frac1{10}}\left(1-\left(\frac{\frac1{10}}{\frac1{10}+\frac7{20}+\frac1{10}}\right)^2\right) +\frac1{\frac1{10}+\frac1{20}}\left(1-\left(\frac{\frac1{10}}{\frac1{10}+\frac1{10}+\frac1{20}}\right)^2\right) +\frac1{\frac1{20}+\frac7{20}+\frac1{10}} -\frac1{\frac1{20}+\frac7{20}+\frac1{10}}\left(1-\left(\frac{\frac3{10}}{\frac3{10}+\frac1{20}+\frac7{20}+\frac1{10}}\right)^4\right) -\frac1{\frac1{20}+\frac7{20}+\frac1{10}}\left(1-\left(\frac{\frac1{10}}{\frac1{10}+\frac1{20}+\frac7{20}+\frac1{10}}\right)^2\right)\\ +\sum_{l=0}^3\sum_{r=0}^1\binom{l+r}r\left( -\frac1{\frac3{10}+\frac1{10}}\left(\frac{\frac3{10}}{\frac3{10}+\frac1{10}}\right)^l\left(\frac{\frac1{10}}{\frac3{10}+\frac1{10}}\right)^r +\frac1{\frac3{10}+\frac1{10}+\frac1{20}}\left(\frac{\frac3{10}}{\frac3{10}+\frac1{10}+\frac1{20}}\right)^l\left(\frac{\frac1{10}}{\frac3{10}+\frac1{10}+\frac1{20}}\right)^r\\ +\frac1{\frac3{10}+\frac1{10}+\frac7{20}}\left(\frac{\frac3{10}}{\frac3{10}+\frac1{10}+\frac7{20}}\right)^l\left(\frac{\frac1{10}}{\frac3{10}+\frac1{10}+\frac7{20}}\right)^r\\ +\frac1{\frac3{10}+\frac1{10}+\frac1{10}}\left(\frac{\frac3{10}}{\frac3{10}+\frac1{10}+\frac1{10}}\right)^l\left(\frac{\frac1{10}}{\frac3{10}+\frac1{10}+\frac1{10}}\right)^r\\ -\frac1{\frac3{10}+\frac1{10}+\frac1{20}+\frac7{20}}\left(\frac{\frac3{10}}{\frac3{10}+\frac1{10}+\frac1{20}+\frac7{20}}\right)^l\left(\frac{\frac1{10}}{\frac3{10}+\frac1{10}+\frac1{20}+\frac7{20}}\right)^r\\ -\frac1{\frac3{10}+\frac1{10}+\frac7{20}+\frac1{10}}\left(\frac{\frac3{10}}{\frac3{10}+\frac1{10}+\frac7{20}+\frac1{10}}\right)^l\left(\frac{\frac1{10}}{\frac3{10}+\frac1{10}+\frac7{20}+\frac1{10}}\right)^r\\ -\frac1{\frac3{10}+\frac1{10}+\frac1{10}+\frac1{20}}\left(\frac{\frac3{10}}{\frac3{10}+\frac1{10}+\frac1{10}+\frac1{20}}\right)^l\left(\frac{\frac1{10}}{\frac3{10}+\frac1{10}+\frac1{10}+\frac1{20}}\right)^r\\ +\frac1{\frac3{10}+\frac1{10}+\frac1{20}+\frac7{20}+\frac1{10}}\left(\frac{\frac3{10}}{\frac3{10}+\frac1{10}+\frac1{20}+\frac7{20}+\frac1{10}}\right)^l\left(\frac{\frac1{10}}{\frac3{10}+\frac1{10}+\frac1{20}+\frac7{20}+\frac1{10}}\right)^r \right) \\ = \frac{40}3 +20 +\frac{20}7 +10 +20 -20\left(1-\left(\frac67\right)^4\right) -\frac{20}7\left(1-\left(\frac6{13}\right)^4\right) -10\left(1-\left(\frac34\right)^4\right) -20\left(1-\left(\frac23\right)^2\right) -\frac{20}7\left(1-\left(\frac29\right)^2\right) -10\left(1-\left(\frac12\right)^2\right) -\frac52 -\frac{20}9 -\frac{20}3 +\frac52\left(1-\left(\frac37\right)^4\right) +\frac{20}9\left(1-\left(\frac25\right)^4\right) +\frac{20}3\left(1-\left(\frac23\right)^4\right) +\frac52\left(1-\left(\frac15\right)^2\right) +\frac{20}9\left(1-\left(\frac2{11}\right)^2\right) +\frac{20}3\left(1-\left(\frac25\right)^2\right) +2 -2\left(1-\left(\frac38\right)^4\right) -2\left(1-\left(\frac16\right)^2\right)\\ +\sum_{l=0}^3\sum_{r=0}^1\binom{l+r}r\left( -\frac52\left(\frac34\right)^l\left(\frac14\right)^r +\frac{20}9\left(\frac23\right)^l\left(\frac29\right)^r +\frac43\left(\frac25\right)^l\left(\frac2{15}\right)^r +2\left(\frac35\right)^l\left(\frac15\right)^r -\frac54\left(\frac38\right)^l\left(\frac18\right)^r -\frac{20}{17}\left(\frac6{17}\right)^l\left(\frac2{17}\right)^r -\frac{20}{11}\left(\frac6{11}\right)^l\left(\frac2{11}\right)^r +\frac{10}9\left(\frac13\right)^l\left(\frac19\right)^r \right) \\ = \frac{40}3 -20 -\frac{20}7 -10 +20 +20\left(\frac67\right)^4 +\frac{20}7\left(\frac6{13}\right)^4 +10\left(\frac34\right)^4 +20\left(\frac23\right)^2 +\frac{20}7\left(\frac29\right)^2 +10\left(\frac12\right)^2 +\frac52 +\frac{20}9 +\frac{20}3 -\frac52\left(\frac37\right)^4 -\frac{20}9\left(\frac25\right)^4 -\frac{20}3\left(\frac23\right)^4 -\frac52\left(\frac15\right)^2 -\frac{20}9\left(\frac2{11}\right)^2 -\frac{20}3\left(\frac25\right)^2 -2 +2\left(\frac38\right)^4 +2\left(\frac16\right)^2\\ -\frac{1345}{128} +\frac{16940}{2187} +\frac{14716}{5625} +\frac{3756}{625} -\frac{9555}{4096} -\frac{2984740}{1419857} -\frac{780580}{161051} +\frac{4180}{2187} \\[15pt] =\frac{36726346111860961183807819781}{1170579965612689097244979200} \\[15pt] \approx31.37448716939056356\;, $$

他の答えと一致して。

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