可算および不可算数[クローズ]

2
Michael Folker 2019-12-12 16:59.

区間に含まれる近傍に、数え切れないほどの数の連続点と数え切れないほどの数の不連続点がある関数はありますか? $(0,1)$

3 answers

12
Adam Martens 2019-12-13 00:03.

承知しました。場合$x\in (0,1/2)$$f(x)=0$。そう$f$この間隔で連続しています。オン$[1/2,1)$、定義できます $f$どこでも不連続になります。例えば、$f=1_{\mathbb{Q}}$ するだろう。

7
Andrés E. Caicedo 2019-12-13 00:34.

セット $G\subseteq \mathbb R$ です $G_\delta$ (つまり、開集合の可算共通部分)関数が存在する場合のみ $f\!:\mathbb R\to\mathbb R$ それはの各ポイントで連続しています $G$ 補集合の各点で不連続です。

あなたが要求している結果は、あることに気づいたことから続きます $G_\delta$ セット $G$ そのような両方 $G$ そしてその補集合は、任意の開区間との数え切れない交差を持っています。


まず、関数の連続点のセットは次のとおりです。 $G_\delta$$f$ で継続しています $x$ 場合に限り $x$ 開集合の交差点にあります $U_n$、 どこ $$ U_n=\{y\in\mathbb R:\exists\delta>0\,\forall x,z\in(y-\delta,y+\delta)\,(|f(x)-f(z)|<1/n)\}. $$

第二に、 $G_\delta$ セットする $G$関数の連続点のセットです。これを見るために、

(a)最初に注意してください $U$ 簡単に構築できるオープンインターバルです $f$ それは外側で連続的(0でも)です $U$ どこでも不連続 $U$。このことから、どのオープンセットでも簡単に同じことがわかります$U$

(b)さて、 $G_\delta$ セットする $G$ 補集合に区間が含まれていない場合は、 $G$ なので $\bigcap_n U_n$ ここで補集合 $C_n$$U_n$ どこにも密集していない、考慮してください $$f(x)=\sum_n2^{-n}\chi_{C_n}(x)$$ と注意してください $f$ の各ポイントで連続です $G$ そして、その補集合の任意の時点で不連続です。

(c)結果は任意の場合に簡単に続きます $G_\delta$ セット $G$ (a)と(b)を組み合わせることによって。

第三に、 $G_\delta$ セット $G$ そのような $G$そしてその補集合は、開集合との数え切れないほどの交差点を持っています。たとえば、$(q_n:n\ge0)$理論的根拠を列挙します。ために$i,j\in\mathbb N$ しましょう $$I_{i,j}=\left(q_i-\frac1{2^{i+j}},q_i+\frac1{2^{i+j}}\right),$$ $G_j=\bigcup_i I_{i,j}$ そして $G=\bigcap_j G_j$。セット$G$ です $G_\delta$、建設による。

の測定に注意してください $G_j$ せいぜい $\frac1{2^j}\sum_i\frac2{2^i}=\frac4{2^j}$、 そう $G$ メジャー0があります。したがって、 $G$ 完全な測定値があるため、非可算集合のすべての間隔を満たします。

同時に、 $G$ セットの可算和集合です $G_j^c$、それぞれがどこにも密集していないので、 $G$ はコマージャーであり、非可算集合のすべての間隔にヒットします。


上記の構造は非常に柔軟であり、追加のプロパティが必要になる可能性があります $f$、コメントで指摘されているように。

2
Mohammad Riazi-Kermani 2019-12-13 00:08.

はい、そのような機能はたくさんあります。

たとえば、 $$f(x)=0, \text{ if } x\ge 1/2 $$

$$f(x)=1, \text{ if } x\notin Q, x<1/2$$ $$f(x)=-1, \text{ if } x\in Q, x<1/2$$

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