二重遷移グループには既約拡張モジュールのフォローアップがあります

2
GRE 2019-12-11 07:07.

これはからのフォローアップの質問です https://math.stackexchange.com/questions/1940986/doubly-transitive-group-has-irreducible-augmentation-module?noredirect=1#comment7135176_1940986

場合 $\mathbb{k}$ 標数ゼロであることがよく知られています $W$既約です。どうすればそれを証明できますか?

2 answers

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ahulpke 2019-12-11 07:13.

しましょう $H$ ポイントスタビライザーになり、 $\pi=1_H\uparrow^G$自然な順列アクションの順列文字になります。次に(フロベニウスの互恵性) $$ (\pi,\pi)_G=(\pi,1_H\uparrow^G)_G=(\pi|H,1_H)=2 $$ 以来 $H$2つの軌道があります。しかしその後$\pi=1+\chi$ 還元不可能なキャラクターのために $\chi$。OTOH$\chi=\pi-1$ のアクションです $W$

1
Dune 2019-12-12 03:45.

アサーションが特定の条件下で肯定的な特性でも保持されることを示す文字のない証明もあります(これは、上記でリンクした私の質問の目的でした)。

しましょう $\mathbb{K}$ フィールドになりましょう $G$ 上の二重遷移順列グループになる $\{ 1, \dots, n \}$

クレーム:ザ・$\mathbb{K} G$-モジュール $W = \{ x \in \mathbb{K}^n : \sum_i x_i = 0 \}$ どちらもない限り、既約 $n$ また $|G_{1,2}|$ の特性で割り切れる $\mathbb{K}$。(($G_{i,j}$ 両方のスタビライザーを示します $i$ そして $j$$G$

証明のスケッチ:以来$G$ 二重に推移的であるため、ゼロ以外の値であることを示すだけで十分です。 $\mathbb{K}G$-サブモジュール $M \leq W$ ベクトルが含まれています $(1,-1,0,\dots,0)$ (その直後に $M$ が含まれています $\mathbb{K}$-の基礎 $W$ その後)。

しましょう $0 \neq x \in M$任意であること。以来$G$ 推移的であると仮定することがあります $x_1 \neq 0$。要素を考慮します$y := \sum_{g \in G_1} gx \in M$。それは形をしています$y_1 = |G_1| \cdot x_1$ そして $$ y_2 = y_3 = \dots = y_n = |G_{1,2}| \cdot \sum_{i=2}^n x_i. $$ 以来 $x_1 \neq 0$ 仮定とそれ以来 $x \in W$、私たちも持っています $\sum_{i=2}^n x_i \neq 0$。以来$|G_{1,2}|$ でゼロ以外 $\mathbb{K}$ 仮定により、それは続く $y_i \neq 0$ ために $i \geq 2$。したがって、$y \in M$ フォームの要素です $y = (a,b,\dots, b)$$b \neq 0$ そして $a \neq b$。(($a = b$ 意味するだろう $n = 0$$\mathbb{K}$)さあ、 $g \in G$ 転置する要素である $1$ そして $2$。我々は持っています$y - gy = (a-b, b-a, 0, \dots, 0) \in M$。で割る$(a-b)$ 最後に意味する $(1,-1,0, \dots, 0) \in M$

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