平行四辺形の法則は、内積によって誘発されるノルムを特徴付ける唯一の方法ですか?

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glS 2019-11-22 07:55.

ノルムは内積によって誘導することができるIFF https://math.stackexchange.com/q/21792/173147。これはよく知られており、サイトですでに何度も議論されています。

内積によって誘発されるノルム、または同等に、平行四辺形の同一性と同等の他の条件を特徴付ける他の方法はありますか?

もちろん、常に平行四辺形のアイデンティティを簡単に変更して「異なる」条件を取得することもできますが、私はそれと「簡単に同等」ではない特性について質問しています。

1 answers

3
Calum Gilhooley 2019-11-22 10:02.

このトピックに関するかなりのサイズの文献があります。私はそれの多くを読んだわけではありませんが、私はこの参考文献のリストを持っています:

  • ダン・アミール、計量ベクトル空間の特徴付け、Birkhäuser(1986)。
  • Neil Falkner、「内積空間の特性評価」、Amer。数学。月。 100、3(1993年3月)、頁246から249。
  • Desmond Fearnley-Sander&JSV Symons、「Appollonius and Inner Products」、Amer。数学。月。 81、9(1974年11月)、頁990から993。
  • ER Lorch、「ヒルベルト空間を特徴付ける特定の含意について」、アン。数学。(2) 49、3(1948年7月)、pp.523-532。
  • Frederick A. Ficken、「ノルム線形空間におけるスカラー積の存在に関する注記」、Ann。数学。(2) 45、2(1944年4月)、pp.362-366。
  • P.ジョーダン&J。v。ノイマン、「線形、距離空間の内積について」、アン。数学。(2) 36、3(1935年7月)、pp.719-723。

これらから始めて、その中の参考文献、および例えばGoogleScholarの引用はより多くを提供するはずです。


アミール(1986)から、p.2f。:

全体として、この地域は過去50年間活動しており(年代順の参照リストを参照)、現在では、150を超える論文に数百のそのような特性が散在しており、それらの多くは簡単には入手できません。このような特性評価の問題に直面し、なんとか解決したほとんどすべての人が、問題が以前に解決されたこと、または以前の特性評価を適用して証明を大幅に簡略化できたことを後で発見しました。この調査を書くという考えは、そのような経験の後で私に思い浮かびました、ただ、私の無知のために、私はそのような仕事の範囲を桁違いに過小評価しました。新しい特性が流入し続けるだけでなく、古い特性が予期しない場所に飛び出し続けます。したがって、非常に限定されたトピックにもかかわらず、この調査が包括的であるとは主張しません。これは、ノルム空間幾何学と近似理論的特性による内積空間の特性評価にのみ関係します。それは実際のケースにのみ関係します。これはほとんどの目的に十分です。$E$ は、実数上の空間として、内積を持つ複素数体上のノルム空間です。 $\left\langle x, y \right\rangle_\mathbb{R}$、その後 $\left\langle x, y \right\rangle = \left\langle x, y \right\rangle_\mathbb{R} + i\left\langle x, iy \right\rangle_\mathbb{R}$ の内積です $E$ 複雑なフィールド上で(それを観察してください $2\|x\|^2 = \|(1+i)x)\|^2 = 2\|x\|^2 + 2\left\langle x, ix \right\rangle_\mathbb{R}$、 そのため $\left\langle x, ix \right\rangle_\mathbb{R} = 0$)。

[$\ldots$]調査は、それぞれがスペースに相当する約350の番号付きステートメントで構成されています $E$内積またはヒルベルト空間であり、これらの同等性の証明。[$\ldots$]

33年前に発表されたこの明らかに不完全な調査でさえ、155項目の参考文献があります。

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