単純な調和振動子の幾何学的数値積分

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Siddhartha 2019-11-20 08:45.

私はこの1D発振器を持っており、その運動方程式は次の式で与えられます- $m \ddot{y}=-ky$ 書かれているときは共役変数の項です $(p,q)$ 行列形式では、 $$\begin{bmatrix}\dot{q} \\ \dot{p}\end{bmatrix}=\underbrace{\begin{bmatrix} 0 & \frac{1}{m} \\ -k &0 \end{bmatrix}}_{A}\begin{bmatrix}q \\ p\end{bmatrix}$$ 今、著者は3つのアプローチを提示しました

(1)明示的オイラー:この形式による $x_{n+1}=x_n+h f(x_n)$ 我々は持っています $$\begin{bmatrix}q_{n+1}\\ p_{n+1}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 & \frac{h}{m}\\-kh & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} q_n \\p_n \end{bmatrix}=\left(I+Ah \right)\begin{bmatrix}q_n \\p_n\end{bmatrix}$$

(2)暗黙のオイラー:形式に関して $x_{n+1}=x_n+h f(x_{n+1})$ 我々は持っています $$\begin{bmatrix}q_{n+1}\\ p_{n+1}\end{bmatrix}=\frac{1}{1+h^2\tfrac{k}{m}}\begin{bmatrix}1 & \frac{h}{m}\\-kh & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} q_n \\p_n \end{bmatrix}=\left(I-Ah \right)^{-1}\begin{bmatrix}q_n \\p_n\end{bmatrix}$$

(3)シンプレクティックオイラー:シンプレクティックオイラーVT $$\begin{bmatrix}q_{n+1}\\ p_{n+1}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}q_n+h \frac{p_{n+1}}{m} \\p_n-hkq_n \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1-h^2\frac{k}{m} & \frac{h}{m}\\-kh & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} q_n \\p_n \end{bmatrix}$$ とシンプレクティックオイラーテレビ: $$\begin{bmatrix}q_{n+1}\\ p_{n+1}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}q_n+h \frac{p_{n}}{m} \\p_n-hkq_{n+1} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 & \frac{h}{m}\\-kh & 1-h^2\frac{k}{m} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} q_n \\p_n \end{bmatrix}$$ これまでのところ、これらはすべて問題ありません。現在、著者は微分方程式に従うと主張しています。

$(1)~~\dot{q}=p+\frac{h}{2}q~,~\dot{p}=-q+\frac{h}{2}p~~(2)~~ \dot{q}=p-\frac{h}{2}q~,~\dot{p}=-q+\frac{h}{2}p$

$(3)~~\dot{q}=p-\frac{h}{2}q~,~\dot{p}=-q-\frac{h}{2}p ~~(4)~~\dot{q}=p+\frac{h}{2}q~,~\dot{p}=-q-\frac{h}{2}p$

$k=m=1$(1)と(3)の正確な解は、明示的および暗黙的なオイラー法によって得られた数値解に従い、(2)と(4)の解は、シンプレクティックオイラー法の結果に従います。微分方程式がどこから生じているのか、そしてそれらの正確な解がどのように数値オイラー解を複製するのか理解できませんか?

1 answers

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Lutz Lehmann 2019-11-20 23:02.

主張は確かにやや行き過ぎであり、修正されたシステムの解から数値解までの距離は、数値法の誤差よりも1桁正確であると主張することができます。

以下のために明示的なオイラー法、あなたは比較することで取得します$x_{k+1}=x_k+f(x_k)h$ 他の方程式を拡張して $\dot x=g_h(x)$ どこ $x_k$ に対応 $x(t)$ そして $x_{k+1}$$x(t+h)$ $$ x(t+h)=x(t)+g_h(x(t))h+\frac12g_h'(x)g(x)h^2+O(h^3). $$ したがって、一次で $g_h(x)=f(x)+O(h)$同じメインダイナミクスをキャプチャします。私たちが得る次の注文期間を展示する$g(x)=f(x)+hu(x)+O(h^2)$。一方、オイラー反復の同等性と必要な正確な解については $$ f(x)=g_h(x)+\frac12g_h'(x)g(x)h+O(h^2). $$ 次に、仮設を挿入します $g=f+uh$ 右側に $$ f(x)=f(x)+u(x)h+\frac12(f'(x)+u'(x)h)(f(x)+u(x)h)h+O(h^2)\\ \\ \implies u(x)=-\frac12f'(x)f(x) $$ 線形の用語で $h$、2次以上の次数の項を無視します。

この例では、 $f(x)=Ax$、 我々が得る $u(x)=-\frac12A^2x$

暗黙のオイラー法は、明示的なオイラーのバージョンを逆転時間で、あなたが得ます$g_h(x)=f(x)+\frac12f'(x)f(x)h$ これは、書き留めた数式に符号エラーがあることを意味します(より正確には、ケース(3)の数式は、ケース(2)に切り替えられた暗黙のオイラー用です)。

シンプレクティックオイラー法の計算も同様の行に従うことができますが、少し複雑です。線形の場合、ステップ行列の対数を取る方が簡単です。$\log(I+hB)=hB-\frac12h^2B^2+O(h^3)$(3)VTの場合、これにより \begin{align} B&=\begin{bmatrix}-h&1\\-1&0\end{bmatrix}, \\ \log(I+hB)&=h\begin{bmatrix}-h&1\\-1&0\end{bmatrix} -\frac12h^2\begin{bmatrix}h^2-1&-h\\h&-1\end{bmatrix}+O(h^3) \\ &=h\begin{bmatrix}-\frac h2&1\\-1&\frac h2\end{bmatrix}+O(h^3), \end{align} または $\dot q = p-\tfrac h2q$$\dot p = -q+\tfrac h2 p$

ケース(4)テレビanalogueousあり、ここであなただけの交換をする必要があります$p$ そして $q$

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