楕円縮閉線の特性

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Narasimham 2019-11-19 23:00.

PMは、交点までの楕円法線のセグメントです。 $M$ y軸上にあり、PCは曲率半径です。

編集1:

PC(のセグメント長)がPMの3乗に比例し、比例定数が $ (b^2/a^4)$ すべての点で $P$。次のように2つの場所が確認されます。

$a$

$$ \frac{PC}{PM^3}=\frac{b^2/a}{a^3}=\frac{b^2}{a^4} $$

$b:$

$$ \frac{PC}{PM^3}=\frac{a^2/b}{(a^2/b)^3}= \frac{b^2}{a^4} $$

1 answers

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Blue 2019-11-20 08:52.

楕円の標準的なパラメータ化を行います。

$$P := (a\cos t, b\sin t) \tag{1}$$ どこ $a$ そして $b$は「水平」および「垂直」半径であり、必ずしも「メジャー」および「マイナー」ではありません。(メジャー/マイナーの区別は重要ではありません。)記号の複雑さを回避するために、楕円の第1象限の弧を検討します。$0\leq t\leq \pi/2$。これにより、「内向き」の法線が$P$ によって与えられます $$n := (-b \cos t, -a \sin t) \tag{2}$$ (これは、接線ベクトルの成分を交換することで得られます $P'(t)$、および適切な方向を確保するための符号の変更)。点数$K$ 距離で $k$ から $P$ 法線に沿った形は $$K := P + \frac{k}{|n|} n = \left(\; \left(a-\frac{bk}{|n|}\right) \cos t,\;\left(b-\frac{ak}{|n|}\right)\sin t\;\right) \tag{3}$$ 特に、適切な座標をゼロに設定すると、その点が $X$ そして $Y$$x$-そして $y$-軸は距離に対応します $$|PX| =\frac{b}{a}|n| \qquad |PY| = \frac{a}{b}|n| \tag{4}$$ さて、ポイント $Z$ 縮閉線上からの距離があります $P$ に等しい https://en.wikipedia.org/wiki/Radius_of_curvature での楕円の $P$。パラメトリック方程式により、

$$|PZ| := \frac{\left(P_x'^2 + P_y'^2\right)^{3/2}}{\left|P_x'' P_y'-P_x'P_y''\right|} = \frac{|n|^3}{a b} \tag{5}$$

(私が使用している場所 $P_x$ そして $P_y$ の座標を参照するには $P$)。したがって、

$$|n|^3 = \frac{a^3}{b^3}|PX|^3 = \frac{b^3}{a^3}|PY|^3 = ab|PZ| \tag{$\星$}$$

結果は次のとおりです。 $\square$

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