colimitsによるファンクターの拡張:Cisinski-上位カテゴリーと同所代数-備考1.1.11

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Jxt921 2019-11-14 15:08.

まず、予備的な結果を述べます。

前層の場合 $X\colon A^{op}\to\mathsf{Set}$、それは要素カテゴリであり$\int X$、ペアがあります $(a,s)$ どこ $a \in A$ そして $s \in X(a)$ オブジェクトとしてそして $f\colon a\to b$ そのような $X(f)(t) = s$ 射として $(a,s)\to (b,t)$

Cisinski、命題1.1.8各前層について$X$ 以上 $A$、ファンクターにしましょう $\phi_X\colon \int X\to [A^{op},\mathsf{Set}]$ 忘却関手の構成になります $\prod_X\colon \int X\to A$ と米田の補題 $Y_A\colon A\to [A^{op},\mathsf{Set}]$。ココネを定義する$\lambda^X\colon \phi_X\Rightarrow X$ によって与えられた $(\lambda^X)_{(a,s)} = y^{-1}_{a,X}(s)$ どこ $y_{a,X}\colon\mathsf{Hom}_{[A^{op},\mathsf{Set}]}(\mathsf{Hom}_A(-,a),A)\to A_a$米田の補題からの自然全単射です。次に$\lambda^X$ ココネココネです。

Cisinski、命題1.1.10 Let$A$ 小さなカテゴリーになり、 $C$ ココンプリートローカルの小さなカテゴリと $u\colon A\to C$ファンクター。各前層について$X$ 以上 $A$、ファンクターを定義する $u_X\colon \int X\to C$ によって与えられた $u_X(a,s) = u(a)$ そして $u_X(f) = u(f)$。各前層について$X$、colimitを選択します $L_X$ とココネココネ $\mu^X\colon u_X\Rightarrow L_X$。ファンクターを定義する$u_!\colon [A^{op},\mathsf{Set}]\to C$ 前層を送るようにすることによって $X$$L_X$ と射 $f\colon X\Rightarrow Y$ 独特の射への前層の $u_!(f)\colon L_X\to L_Y$ そのような $u_!(f)\circ\mu^X_{(a,s)} = \mu^Y_{(a,u_a(s))}$ のために $(a,s) \in \int X$。次に$u_!$ 随伴作用素があります(この命題の詳細については、を参照してください) https://iquestion.pro/q/ma16417069/cisinski-joi-kategori-to-doshosei-daisu-teiri-1-1-10)。

最後に、問題の発言。

Cisinksi、備考1.1.11ファンクター$u_!$ の拡張子と呼ばれます $u$colimitsによって。実際、任意の共連続関手$F\colon [A^{op},\mathsf{Set}]\to C$ フォームのファンクターと同型です $u_!$。もっと正確に言えば、$u(a) = F(\mathsf{Hom}_A(-,a))$ そして $u(f) = F(\mathsf{Hom}_A(-,f))$、独特の自然同型があります $u_!(X) \cong F(X)$ 前層がいつでもアイデンティティです $X$ 表現可能です。

自然同型を構築しました $\eta\colon u_!\Rightarrow F$ 設定することにより $\eta_X\colon u_!(X)\to F(X)$ 私たちが持っているユニークな射である $\eta_X\circ \mu^X_{(a,s)} = F(\lambda^X_{(a,s)})$ のために $(a,s) \in \int X$ (($\mu^X$ そして $\lambda^X$ それらが上で意味したことを意味します)。

私の質問は:

  • 私の自然同型写像は、 $X$表現可能ですか?もしそうなら、なぜですか?

  • そうでない場合、正しい自然同型は何ですか?

  • いずれにせよ、その価値が表現可能な前層であるときはいつでもアイデンティティを与える前述の自然同型の一意性をどのように証明するのですか?

1 answers

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Maxime Ramzi 2019-11-14 23:57.

あなたの最初の質問は本当に意味がありません、あるいはむしろそれがアイデンティティであると期待することは合理的ではありません:それはあなたが持っていることを意味します $u_!(X) = F(X)$ の定義を考えると、ハードイコールで $u_!$、それは合理的ではありません。

しかし、あなたは確かにそれを注意することができます $u_!(X)$ と2つの同型があります $F(X)$ いつ $X$ 表現可能です:ここで作成したものと他の質問で与えられたもの:それらが同じであるかどうかを尋ねることができます(つまり、2番目のものをIDと見なす場合、2番目のものはに関するIDですその識別-それがCisinskiの意味だと思います)

答えはイエスです。

確かに、表された前層については注意してください $X= \hom(-,b)$、 我々は持っています $\hom( u_!X,Y) \cong \hom(X, u^*Y) \cong u^*Y(b) = \hom(u(b), Y) = \hom(F(\hom(-,b)), Y)$

までの同型の文字列 $\hom(u(b), Y)$ ISOを生成します $u_!X \cong u(b)$前の質問で定義したこと(定義による)。そして、あなたはそれ以来$(b,id_b)$ のターミナルです $\int X$$u(b) \to u_!X$ (($\mu^X_{(b,id_b)}$、正規の包含)は同型であり、これが実際に同型の文字列によって与えられたものと同じであることを確認するだけで十分です。

しかし、これを確認するには、随伴関手がどこにあるかを覚えておくだけです。 $u_! \dashv u^*$そもそも、まったく同じタイプの正規の包含から来ました。取りましょう$Y= u_!X$ とフォロー $id_{u_!X}$ :行きます $a\mapsto (s\mapsto (u(a)= u_X(a,s) \overset{\mu^X_{(a,s)}}\to u_!X\to u_!X))$ する $a\mapsto (s\mapsto (u(a)= u_X(a,s) \overset{\mu^X_{(a,s)}}\to u_!X))$;

次に、それを評価します $b,id_b$ 正確に取得します $u(b) \overset{\mu^X_{(b,id_b)}}\to u_!X$

したがって、表現可能な前層の場合、2つの同型写像は同じです。これは、必要に応じて取得できる最良のものです。 $\eta$ 「表現可能な前層のアイデンティティ」であること。

あなたの最後の質問については、これは、表現可能な前層の標準的な限界である前層から単純に続きます:2つの自然な射がある場合 $h,k : F\to G$ コリミット保存ファンクター間 $F$ そして $G$ 上の任意の関手 $\widehat{A}$ 代表者に同意し、 $h=k$

確かに、 $X$ どんな前層でも、私たちはそれをチェックしたい $h_X = k_X$; そのためにはそれを示すだけで十分です$h_X \circ F(\lambda^X_{(a,s)}) = k_X \circ F(\lambda^X_{(a,s)})$ のために $(a,s) \in \int X$ (colimitの定義により、そして $F$ それらを尊重します)

しかし、これは、LHSが $G(\lambda^X_{(a,s)})\circ h_{\hom(-,a)}$ 自然によって、そしてRHSは $G(\lambda^X_{(a,s)})\circ k_{\hom(-,a)}$ 同じ理由で、しかし $h_{\hom(-,a)} = k_{\hom(-,a)}$ 仮定により、RHS = LHSなど $h=k$

以来 $u_!$ colimitsを保持し、に同意する最大で1つの自然なisoがあります $\eta$ 表現可能なものについて:これはあなたが望んでいた独自性の声明です

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