Cisinski、上位カテゴリと同所性代数、定理1.1.10

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Jxt921 2019-11-03 09:02.

しましょう $X\colon \mathsf{C^{op}}\to \mathsf{Set}$前層になります。それは要素カテゴリであり$\int X$、ペアがあります $(a,s)$$s \in X(a)$ オブジェクトとしてそして $f \in \mathrm{Hom}_{\mathsf{D}}(a,b)$ そのような $X(f)(t) = s$ 射として $(a,s)\to (b,t)$

これは、DCCisinskiの著書「HigherCategories andHomotopicalAlgebra」の定理です。

しましょう $\mathsf{A}$ 地元の小さなカテゴリーと一緒に小さなカテゴリーになる $\mathsf{C}$これは小さな限界を認めます。関手のために$u\colon \mathsf{A}\to \mathsf{C}$、での評価の関手 $u$ $$u^*\colon \mathsf{C}\to\widehat{\mathsf{A}}, Y \mapsto u^*(Y) = (a\mapsto\mathrm{Hom}_{\mathsf{C}}(u(a),Y))$$ 左随伴作用素があります $$u_{!}\colon\widehat{\mathsf{A}}\to\mathsf{C}.$$ さらに、自然同型があります $u(a) \cong u_{!}(\mathrm{Hom}_{\mathsf{D}}(-,a)), a \in \mathsf{A}$、そのような、任意のオブジェクトに対して $Y$$\mathsf{C}$、誘導全単射 $\mathrm{Hom}_{\mathsf{C}}(u_{!}(\mathrm{Hom}_{\mathsf{D}}(-,a)),Y) \cong \mathrm{Hom}_{\mathsf{C}}(u(a),Y)$ 米田全単射の構成の逆です $\mathrm{Hom}_{\mathsf{C}}(u(a),Y) = u^*(Y)_a = \mathrm{Hom}_{\widehat{\mathsf{A}}}(\mathrm{Hom}_{\mathsf{D}}(-,a),u^*(Y))$ 随伴公式で $\mathrm{Hom}_{\widehat{\mathsf{A}}}(\mathrm{Hom}_{\mathsf{D}}(-,a),u^*(Y)) \cong \mathrm{Hom}_{\mathsf{C}}(u_{!}(\mathrm{Hom}_{\mathsf{D}}(-,a)),Y)$

Cisinskiは左随伴関手を構築します $u_!$ 設定することにより、各前層に対して $X$ 以上 $\mathsf{A}$$u_!(X)$ ファンクターの限界になる $F\colon\int X\to \mathsf{C}$ そのような $F(a,s) = u(a)$ (私は $F(f\colon (a,s)\to (b,t)) = u(f)$、しかし、作者はこれを明示的に述べていないので、私が間違っている可能性があります)。

また、の行動は何であるかが述べられています $u_!$前層の射について、そして私はそれを推測することはできませんが、随伴公式の自然さを証明する必要があるので、残りの証明にとって重要です。これが私の最初の質問です。

私の2番目の質問はなぜですか$u(a) \cong u_!(\mathrm{Hom}_{\mathsf{D}}(-,a))$ユニークです。確かに、全単射の逆は一意なので、誘導された全単射$\mathrm{Hom}_{\mathsf{C}}(u_{!}(\mathrm{Hom}_{\mathsf{D}}(-,a)),Y) \cong \mathrm{Hom}_{\mathsf{C}}(u(a),Y)$ はユニークですが、これは理由を説明していません $u(a) \cong u_{!}(\mathrm{Hom}_{\mathsf{D}}(-,a))$ です。

1 answers

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Maxime Ramzi 2019-11-03 12:48.

仮定します $\psi: X\to Y$前層の射です。その後、$(a,s)\in \int X$$s\in X(a)$ そのため $\psi_a(s) \in Y(a)$。したがって、要素を取得します$(a,\psi_a(s))\in \int Y$

これで、射を定義できます $\mathrm{colim}_{\int X}F_X \to \mathrm{colim}_{\int Y}F_Y$ (私が書くところ $F_X$ あなたが呼んだもののために $F$)を定義することによって $F_X((a,s)) \to F_Y((a,\psi_a(s)))\to \mathrm{colim}_{\int Y}F_Y$ (最初のマップは $id_a$ そして2番目はcolimitで与えられた包含です)

このマップシステムは一貫性があり、マップを提供します $\mathrm{colim}_{\int X}F_X\to \mathrm{colim}_{\int Y}F_Y$ の事実から来る $f: a\to b$ 射です

$$\require{AMScd}\begin{CD}X(a) @>X(f)>> X(b)\\ @V\psi_aVV @V\psi_bVV\\ Y(a) @>Y(f)>>Y(b) \end{CD}$$

通勤するので、 $X(f)(s) = t$、その後 $Y(f)(\psi_a(s)) = \psi_b(t)$、したがって、(n明らかに可換)図があります $$\begin{CD} F_X((a,s)) @>>> F_Y((a,\psi_a(s))) @>>> \mathrm{colim}_{\int Y}F_Y \\ @VVV @VVV @VVV\\ F_X((b,t)) @>>> F_Y((b,\psi_b(t))) @>>> \mathrm{colim}_{\int Y}F_Y\end{CD}$$

マップごとに $f : (a,s)\to (b,t)$$\int X$

これはのアクションを定義します $u_!$ 射について。

(コエンドについて知っている場合[知らない場合は、この括弧を読まないでください。下に移動して、2番目の質問への回答を確認してください]。 $u_!(X) = \int^{a\in A}X(a)\cdot u(a)$ どこ $X\cdot c = \coprod_X c$ セット用 $X$ とのオブジェクト $C$ $c$。次に地図$\int^{a\in A}X(a)\cdot u(a) \to \int^{a\in A}Y(a)\cdot u(a)$ によって単に誘発されます $\psi_a\cdot u(a) : X(a)\cdot u(a) \to Y(a)\cdot u(a)$、上記と同様に、これがコエンドのマップを生成することを確認します)

2番目の質問については、米田の補題は特にあなたにそれを伝えます $\hom(a,b)\to \hom(\hom(a,-), \hom(b,-))$全単射です。したがって、特定の同型写像がある場合$\in \hom(\hom(a,-), \hom(b,-))$ (「カノニカル」と言う)それはあなたに特定の同型を与える $\in \hom(a,b)$

ここに標準的な同型写像があります( $a$$\hom_C(u(a), Y) \cong \hom_C(u_!\hom_D(-,a), Y)$ だから、米田の補題によって $C$、それらは特定の同型から来ています $u(a) \cong u_!\hom_D(-,a)$ これも自然になります $a$

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