$\operatorname{Gal}(k(t^{1/p},u^{1/p}) / k(t, u))$ アイデンティティの自己同型のみが含まれます。

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eatfood 2019-10-13 06:18.

しましょう $k$ 特徴的な分野である $p$、そして $F = k(t, u)$ そして $L$ の分解体である $(x^p - t)(x^p - u) \in F[x]$。それを見せたい$\operatorname{Gal}(L/F)$ アイデンティティの自己同型のみが含まれます。

証明:

取りましょう $\sigma \in \operatorname{Gal}(L/F)$。しましょう$t' = t^{1/p}$ そして $u' = u^{1/p}$

仮定します $\sigma(t') = g(t', u')$ いくつかのための $g(x, y) \in F[x,y]$。それから私はそれを示す必要があると思います$g(t', u') = t'$。私は試した:

$t = \sigma(t) = (\sigma(t'))^p = g(t', u')^p = \left( \sum c_{i,j} {t'}^i {u'}^j \right)^p = \sum c_{i,j}^p {t}^i {u}^j $ 指数を持ってくることによって $p$ 内部。

これは、 $c_{i,j}^p = 0$ すべてのために $(i,j)$ を除いて $(1, 0)$、したがって $g(t', u') = c_{i,j} t'$、 どこ $c_{i,j}^p = 1$。(この部分が有効かどうかわからないのですが、どうすれば厳密に表示できますか?)

それから私はここで立ち往生しています。私がそれを示すことができれば$c_{i,j} = 1$、その後 $\sigma(t') = t'$。同様に、$\sigma(u') = u'$。それゆえ$\sigma$アイデンティティです。しかし、どうすればいいのかわかりません。

2 answers

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Angina Seng 2019-10-13 06:28.

これは、特性の純非分離拡大の場合に常に当てはまります $p$。君の$t'$ のルートです $X^p-t=0$。したがって、そうです$\sigma(t)$。しかし、この方程式は次のように考慮されます$(X-t')^p$。したがって、$(\sigma(t)-t')^p=0$、 など $\sigma(t)=t$。同様に$\sigma(u)=u$

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Mark 2019-10-13 06:30.

あなたが書いたように私たちは持っています $(\sigma(t'))^p=t$。これの意味は$\sigma(t')$ は多項式の根です $x^p-t$ に属する $L$。ただし、特性は$p$ 我々は持っています $x^p-t=x^p-(t')^p=(x-t')^p$。この意味は$t'$ のこの多項式の唯一の根は $L$、 それゆえ $\sigma(t')=t'$、選択の余地はありません。

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