オイラーっぽい不等式を満たす関数の導関数 $f(x+y)\le f(x)f(y)$。

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Maximilian Janisch 2019-10-08 18:01.

推測。しましょう$f:\mathbb R\to\mathbb R_{>0}$ 次のような連続微分可能関数である $$f(x+y)\le f(x)\cdot f(y)$$ すべての実数のために $x,y$。次に$$f'(x)\le c_1\cdot\exp(c_2\cdot x)$$ いくつかの定数について $c_1,c_2$; そしてすべて$x\in\mathbb R$

この推測は本当ですか?どうすればそれを(非)証明できますか?


備考

  • 私の推測は、すべての連続関数が満足するという事実から生じています $g(x+y)=g(x)\cdot g(y)$ タイプです $g(x)=\exp(c\cdot x)$。特に、$g'(x)=c\exp(cx).$

  • 私の最初の本能は使用することでした $$f(x+y)-f(x)\le f(x)\cdot(f(y)-1)$$ だから私たちがそれを結論付けることができれば $f(x)\le \exp(cx)$ すべてのために $x$、その後 $$f'(x)=\lim_{y\to0}\frac{f(x+y)-f(x)}{y}\le \exp(cx)\lim_{y\to0}\frac{\exp(cy)-1}y=\exp(cx)\cdot c.$$ しかしながら、 $f(x)\le \exp(cx)$常に正しいは限りません(検討してください)$f(x)=2\cdot\exp x$)。

1 answers

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PhoemueX 2019-10-09 03:00.

残念ながら、これは真実ではありません。問題は、あなたの状態が本質的にの行動を制限するだけであるということです$f$「大規模」ですが、ローカルではありません。の導関数$f$ただし、地域の行動によって決定されます。これが正確に何を意味するのかは、反例によって明らかになります。

定義する $$ f : R \to (0,\infty), x \mapsto e^x \cdot (4 + \sin(e^{x^{2}})) . $$ 以来 $-1 \leq \sin(y) \leq 1$、それからそれは見やすいです $3 e^x \leq f(x) \leq 5 \cdot e^x$ すべてのために $x \in \Bbb{R}$、 それゆえ $$ f(x+y) \leq 5 \cdot e^{x+y} \leq 3 e^x \cdot 3 e^y \leq f(x) \cdot f(y). $$ しかし、私たちは $$ f'(x) = e^x \cdot (4 + \sin(e^{x^{2}})) + e^x \cdot \cos(e^{x^{2}}) \cdot e^{x^{2}} \cdot 2x. $$ さて、 $n \geq 5$$x_n := \sqrt{\ln (2 \pi n)}$。観察する$\ln(2 \pi n) \geq \ln(e) = 1$、 したがって $e^{x_n} \geq e \geq 1$。さらに、$e^{x_n^2} = e^{\ln(2 \pi n)} = 2\pi n$、 したがって $\cos(e^{x_n^2}) = \cos(2\pi n) = 1$。全体として、これは $$ f'(x_n) \geq 3 \cdot e^{x_n} + e^{x_n} \cdot \cos(e^{x_n^2}) \cdot e^{x_n^2} \cdot 2 x_n \geq 2 \pi n \cdot 2 x_n \geq 4 \pi n. $$ ただし、希望する不等式が真である場合は、 $$ 2 e^{x_n^2} = 4 \pi n \leq f'(x_n) \leq C \cdot e^{c x_n}, $$ したがって $$ e^{x_n^2 - c x_n} \leq C / 2, $$ つまり $x_n^2 - c x_n = x_n \cdot (x_n - c)$ は制限されていますが、明らかにそうではありません。

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