これらの3つのイベントは独立していますか?まだ解決されていません。誰か助けてもらえますか?

1
Alchemy 2019-10-05 12:48.

次のような3つのイベントA、B、Cを考えてみましょう。

$$P((A \cap B )\cup C)=P(A)*P(B)*P(C)$$

2番目の項は和集合であり、交差ではないことに注意してください

彼らは独立していますか?

そして、仮定が次の場合はどうなりますか。 $$P(A \cap( B \cup C))=P(A)*P(B)*P(C)$$

独立条件では、各ペアの共通部分の確率に加えて、すべてのペアの共通部分の確率も因数分解するかどうかを確認する必要があることを知っています。

しかし、私は彼らが独立していないことを証明する方法がわかりません。

最終編集:Lozanoとantkamのandwersは競合しているようです。誰か助けてもらえますか?

ありがとうございました

3 answers

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antkam 2019-10-06 07:42.

最初の条件、 $P((A \cap B )\cup C)=P(A)*P(B)*P(C)$、実際には非常に、非常に制限的です...

  • どんな場合でも $2$ イベント、 $P(X \cup Y) \ge P(X)$

  • どんなイベントでも、 $P(Z) \le 1$

一緒に $P((A \cap B) \cup C) \ge P(C) \ge P(A)P(B)P(C)$ のために $3$イベント。最初の項と最後の項が等しい状況が本当にある場合は、3つすべてが等しいです。

$$P(C) = P(A)P(B)P(C) \implies P(A)=P(B)=1 \,\,\,\,\,\,\text{or} \,\,\,\,\,\, P(C)=0$$

  • ケース1: $P(A)=P(B)=1$、 この場合、 $P((A \cap B) \cup C) = 1 = P(C)$ はい $A,B,C$ 独立しています。

  • ケース2: $P(C) = 0$、 この場合、 $P((A \cap B) \cup C) = 0$ これはさらに意味します $P(A \cap B) = 0$、あなたは結論を下すことができます $A,B$排他的です。(次の場合、3つすべてを独立させることができます$P(A)=P(B)=P(C)=0$。)


2番目の条件、 $P(A \cap( B \cup C))=P(A)*P(B)*P(C)$最初のものよりもはるかに制限が少なく、完全には分析しません。しかし、どちらの方法でも例があります...

  • ここでの例 $A,B,C$ 独立している:ただ取る $P(A)=P(B)=P(C)=0$、または、 $P(B)=P(C)=1$

  • ここでの例 $A,B,C$ 依存している:ロール $8$-これらの面を持つ側面ダイ: $A,A,A,ABC,BC,BC,BC,blank$。次に$LHS=RHS=1/8$

また、 $A,B,C$ 独立している場合は、何らかの「縮退」イベントを伴う必要があります($P=0$ または $1$)、理由:

$$P(A)P(B)P(C) = P(A \cap (B \cup C)) = P((A\cap B) \cup (A \cap C)) \ge P(A\cap B)$$

ですから、それらが独立している場合、 $P(A)P(B)P(C) \ge P(A)P(B)$ これは次の場合にのみ発生する可能性があります $P(C)=1$ または $P(A)P(B)=0$つまり、一部のイベントは縮退している必要があります。

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Vitali Pom 2019-10-05 20:10.

ブール論理では、 $A*B*(C-1)$彼らが独立している場合。したがって、ここでそれは真実です。$P(C)=.5$

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Juan Sebastian Lozano 2019-10-05 20:22.

私達はことを知っています $P((A \cap B) \cup C) = P(A \cap B) + P(C) - P(A \cap B \cap C) $

私たちが得た問題から私たちが知っていることを置き換える $P(A) \cdot P(B) \cdot P( C) = P(A \cap B) + P(C) - P(A \cap B \cap C) $

これは意味します

$- P(A) \cdot P(B) \cdot P( C) + P(A \cap B) + P(C) = P(A \cap B \cap C) $

これは、三者間の独立はあり得ないことを示しています。

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