既約多項式の意味を証明する

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user100101212 2019-10-03 12:32.

仮定します $\alpha, \beta \in \mathbb{F}_{q}$ そして $x^q - \alpha x - \beta $ で既約です $\mathbb{F}_{q}[x]$ それから私はそれを示さなければなりません $\beta \ne 0, \alpha = 1$ そして $q$素数です。はっきりと見えます$\beta \ne 0$ 含意が、私は他の2を見ていません。 $\alpha \ne 1$、その後 $x^q - \alpha x - \beta $ルートが含まれています。3番目のステートメントの場合、$q$ 素数ではなく、 $q$ は素数冪であり、おそらく矛盾を導き出すことができます。

1 answers

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principal-ideal-domain 2019-10-05 04:49.

コメントですでに説明したように、それは明らかです $\beta\ne 0$ そして $\alpha=1$ それ以外の場合、多項式はゼロになります。

私はちょうど一方向の証拠を思いついた:

しましょう $p$素数である。それを示したい$f(X):=X^p-X-\beta$既約です。しましょう$\Phi:\mathbb F_p[X]\to\mathbb F_p[X]$ 自己同型送信である $X$$X+1$。多項式の次数を保持します。我々は持っています$\Phi^p=\operatorname{id}$。以来$\Phi(f)=f$ 自己同型 $\Phi$ の因子を並べ替えます $f$。各因子の軌道はどちらかの長さです$p$ または長さ $1$。長さ$p$ 少なくともあることを意味します $p$ したがって、要因 $f$ 線形因子の積に分解されますが、それ以降はそうではありません。 $f$ にルートがありません $\mathbb F_p$。だからすべての要因$f$ の不動点です $\Phi$。不動点であること$g$$\Phi$ 機能としてそれを意味します $g:\mathbb F_p\to \mathbb F_p$は一定です。したがって、$\deg(g)=0$ または $\deg(g) \ge p$。そう$f$ それ自体が1つの要素しかないため、既約です。

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