二項係数の比率の限界

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Noname 2019-09-26 10:11.

の限界を見つけるにはどうすればよいですか

$$ \binom{n-a+r-2}{r-2}\bigg/\binom{n + r - 1}{ r - 1} $$

なので $n\to\infty, r\to\infty, \text{ and } n/r\to\rho > 0$


これが私が試したことです。二項係数の定義により、次のようになります。

$$\frac{(n - a + r - 2)!}{(r - 2)!(n - a)!} \cdot \frac{(r - 1)!n!}{(n + r - 1)!} $$

その後、あなたはすることができます $(r - 1)!/(r - 2)! = (r - 1)$、でも次に何をしたらいいのかわからない。誰かがあなたが得るかもしれないと思うと言った$\rho^{a} e^{-\rho}/a!$ (これは正しくないかもしれません)限界としてですが、私はこの分数を単純化する方法さえわかりません。

1 answers

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Ali Ashja' 2019-09-26 17:59.

@metamorphyが言ったように、スターリング近似を使用してそれを解くことができます。

しかし、それを直接攻撃したい場合: $$\frac{(n-a+r-2)!}{(n+r-1)!}.\frac{(r-1)!}{(r-2)!}.\frac{(n)!}{(n-a)!} =$$ $$= \frac{1}{(n+r-1)...(n-a+r-1)}.\frac{(r-1)}{1}.\frac{(n)...(n-a+1)}{1} \simeq$$ $$\simeq \frac{1}{(n+r)^{a+1}}.\frac{(r)^1}{1}.\frac{(n)^a}{1} \simeq \frac{1}{(r \rho +r)^{a+1}}.\frac{(r)^1}{1}.\frac{(r \rho)^a}{1} = \frac{\rho^a}{(\rho +1)^{a+1}}$$

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