の閉じた形の解 $\int_0^{\infty} x(1+({\frac{x}{\lambda}})^{(-\alpha-1)}) dx$

Chris 2019-09-21 10:00.

この積分の閉じた形の解はありますか？

$${\int_0^{\infty} x(1+{\frac{x}{\lambda}})^{(-\alpha-1)} dx}$$

どこ $$\alpha>1$$ $$\lambda>0$$

それはパレート統計分布ファミリーにあり、私は分析的な解決策を見つけようとしています。

integration closed-form

2 answers

Alecos Papadopoulos 2019-09-21 10:23.

分母の積分は、Lomax分布の期待値のように見えます。（いくつかの定数が欠落しています）私はあなたが必要だと読みました$\alpha >1$、それ以外は未定義。ウィキペディアの資料を見ると、解決策は

$$\int_0^{\infty} x\left(1+{\frac{x}{\lambda}}\right)^{(-\alpha-1)}dx = \frac{\lambda^2}{\alpha(\alpha -1)}$$

しかし、確認してください。

Z Ahmed 2019-09-21 16:12.

$$I=\int_{0}^{\infty} \frac{x}{(1+x/b)^{(1+a)}} dx =b^{(1+a)} \int_{0}^{\infty} \left( \frac{1}{(b+x)^a} - \frac{b}{(b+x)^{1+a}} \right)=b^{1+a} \left( \frac{(b+x)^{1-a}}{1-a}+b \frac{(b+x)^{-a}}{a} \right)_{0}^{\infty}=\frac{b^2}{a(a-1)},~ a > 1$$

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