のフーリエ変換 $1/|x|$ 強化された分布として

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Andrew Yuan 2019-09-18 06:57.

強化された分布としてそれを知っています $S'$ オン $\mathbb{R}^3$、のフーリエ変換 $1/4\pi|x|$ です $1/k^2$。これが真実であると主張する方法はたくさんあります。私が物理学で見た特定の方法の1つは、計算することです

$$ \int_{|x|<R} \frac{e^{-ikx}}{4\pi|x|} dx= \frac{1}{k^2}[1-\cos{(|k|R)}] $$ それから取るによって $R \rightarrow \infty$、第2項がわかります $\rightarrow 0$緩和された分布として。これは、余弦項が非常に急速に振動してシュワルツ関数を消滅させると予想されるため、ある程度意味があります。しかし、振動がシュワルツ関数をどのように消滅させるかについて、厳密な議論を提供できる人はいますか?

編集:私はちょうどそれを実現しました $\cos{|k|R}$ シュワルツ関数に作用する $\phi (k)$ 基本的にはシュワルツ関数のフーリエ変換です $\phi (k)$$R$ (多分いくつかの線形結合またはあなたは限界を必要とするかもしれません $|\phi|$)。フーリエ変換はシュワルツ関数をシュワルツ関数に写像するので、$\rightarrow 0$ なので $R \rightarrow \infty$

1 answers

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Ninad Munshi 2019-09-18 14:15.

そのトリックを行う代わりに、均一性を含むフーリエ変換の巧妙な特性を使用します。

$\mathbf{\text{Def.}}$ 機能 $f\in\mathcal{S}(\Bbb R^n)$ 程度が均一である $s$ もし $\forall a \neq 0$

$$f(ax) = a^sf(x)$$

$\mathbf{\text{Lemma.}}$ しましょう $f$ 均一度であること $s$。次に$\hat{f}$ 均一度です $-n-s$

証明: $$ \begin{split} \hat{f}(ak) &= \frac{1}{(2\pi)^{\frac{3}{2}}}\int_{\Bbb R^n}f(x)e^{-i(ak) \cdot x}dx \\ &= \frac{1}{(2\pi)^{\frac{3}{2}}}\int_{\Bbb R^n}f\left(\frac{u}{a}\right)e^{-ik \cdot u}\frac{du}{a^n}\\ &=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{3}{2}}}\int_{\Bbb R^n}\left(\frac{1}{a}\right)^sf(u)e^{-ik \cdot u}\frac{du}{a^n} = a^{-n-s}\hat{f}(k) \end{split} $$

シュワルツ関数の場合にこれを証明しましたが、より多くの作業が必要ですが、同じ特性が強化された分布に適用されます。

そのことに注意してください $|x|^{-1}$ 放射状で均質な次数です $-1$。上記の補題を使用すると、そのフーリエ変換は次数で均一でなければなりません。$-3+1 = -2$。その程度で可能な唯一の放射状の均一分布は$C|k|^{-2}$ 一定の定数 $C$

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