との積分因子 $-\ln x$

1
Axion004 2019-09-14 04:16.

そんなこと知ってる

$$\int \frac{1}{x}dx = \ln |x| + C$$

しかし、私は微分方程式のノートと解が $P(x)=-\frac{1}{x}$ です

$$\mu(x)=e^{\int P(x)dx}=e^{-\int\frac{1}{x}dx}=e^{-\ln|x|}=\frac{1}{x}$$

たとえば、IVPについて考えてみましょう。

$$\frac{dy}{dx}-\frac{y}{x}=xe^x, ~~~y(1)=e^{-1}$$

私たちはそれを持っています $P(x)=-\frac{1}{x}$ したがって、上記とまったく同じように積分係数を見つけることができます

$$\mu(x)=e^{\int P(x)dx}=e^{-\int\frac{1}{x}dx}=e^{-\ln|x|}=\frac{1}{x}\tag{1a}$$

すると私たちの方程式は

$$\frac{1}{x}\frac{dy}{dx}-\frac{y}{x^2}=e^x \implies \frac{d}{dx}\Big(\frac{1}{x}y\Big)=e^x$$

統合した後、

$$\frac{y}{x}=e^x+C$$

の初期条件を適用する $y(1)=e^{-1}$ フォーム $C=-1$。次に

$$\frac{y}{x}=e^x+1$$

または

$$y=xe^x+x\tag{1b}$$

代わりに、積分因子が次のように見つかった場合

$$\mu(x)=e^{\int P(x)dx}=e^{-\int\frac{1}{x}dx}=e^{-\ln|x|}=\frac{1}{|x|}\tag{2a}$$

その後、私たちは実行します $|x|$計算全体を通して。我々は持っています

$$\frac{1}{|x|}\frac{dy}{dx}-\frac{y}{x|x|}=e^x \implies \frac{d}{dx}\Big(\frac{1}{|x|}y\Big)=e^x$$

フォームを統合した後

$$\frac{y}{|x|}=e^x+C$$

の初期条件を適用する $y(1)=e^{-1}$ もう一度フォーム $C=-1$。次に

$$\frac{y}{|x|}=e^x+1$$

または

$$y=|x|e^x+|x|\tag{2b}$$

私はさまざまな人々が両方の解決策が正しいと主張するのを見てきました。計算のある時点で絶対値の符号を削除できるかどうかはわかりません。

2 answers

2
Arthur 2019-09-14 04:21.

微分方程式はで分解されます $x=0$、だからネガティブに何が起こるか $x$与えられた情報からは分からないものです。私たちはポジティブだけを気にします$x$ポジティブなことしか気にしないから$x$、したがって、絶対値の記号は何もしません。

より単純な微分方程式でも $y'=\frac yx$、一般的な解決策を得る $$ y(x)=\cases{ax& for $x> 0$\\bx& for $x <0$} $$ 実際、の真の不定積分 $\frac1x$ です $$ \cases{\ln x+c_1& for $x> 0$\\\ln(-x)+c_2 & for $x <0$} $$ ピン留めに役立つ情報がありません $c_2$ (または本当に $c_2-c_1$)あなたの積分因子のために、それはネガティブに何が起こるかを私たちが知ることができないことのもう一つの現れです $x$

もちろん、次のようなものを想定しています $y$ で微分可能であること $x=0$ (それが起こり得ることでさえあるなら;それはすべての微分方程式の場合ではありません)負と正の枝をつなぎ合わせるのに十分でしょう。

0
Oscar Lanzi 2019-09-14 05:41.

対数なしで積分係数を得ることができます。微分には商の法則を使用します。

$\dfrac{(u/v)}{dx}=\dfrac{v(du/dx)-u(dv/dx)}{v^2}$

プット $u=y, v=x$ 取得するため

$\dfrac{d(y/x)}{dx}=\dfrac{x(dy/dx)-y(dx/dx)}{x^2}=\dfrac{1}{x}\dfrac{d(y/x)}{dx}$

これにより、積分係数と正確な積分が1回の打撃で得られます。これはポジティブとネガティブの両方に当てはまるので$x$ 私たちは $(1b)$ 明確に解決します。

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