不平等の証明 $|\sin(n\theta) |\le n\sin\theta$

2
Abhi7731756 2019-09-13 00:19.

私は次の不平等を証明しようとしていました:

$$|\sin n\theta| \leq n\sin \theta \ \text{for all n=1,2,3... and } \ 0<\theta<π $$

私はこれを誘導によって証明することに成功しましたが、証明について「感じる」ことはできませんでした。この不平等に対する他の証拠はありますか?

2 answers

8
Conrad 2019-09-13 07:40.

これがあなたが望むものであるかどうかはわかりませんが、それを行うためのきちんとした方法は、 $0 < \theta < \pi$

$|1+e^{2i\theta}+...+e^{2i(n-1)\theta}|=\frac{|\sin (n\theta)|}{\sin (\theta)}$ 次に、LHSで三角不等式を使用します

7
Theo Bendit 2019-09-13 08:24.

あなたはそれを示すことができます $|\sin(x)|$ 劣加法性、すなわち $$|\sin(x + y)| \le |\sin(x)| + |\sin(y)|.$$ これを証明するには、左側を展開します。 \begin{align*} |\sin(x + y)| &= |\sin(x)\cos(y) + \sin(y)\cos(x)| \\ &\le |\sin(x)| \cdot |\cos(y)| + |\sin(y)| \cdot | \cos(y)| \\ &\le |\sin(x)| + |\sin(y)|, \end{align*} なので $|\cos(x)|$ そして $|\cos(y)|$ 以下である $1$

これはどのように役立ちますか?注意してください、$0 < \theta < \pi$、 我々は持っています $\sin(x) \ge 0$、したがって $|\sin(\theta)| = \sin(\theta)$。誘導を使用して、subadditivitiyを使用してそれを示すことができます$$|\sin(n\theta)| = |\sin(\underbrace{\theta + \theta + \ldots + \theta}_{\text{n times}})| \le \underbrace{|\sin(\theta)| + \ldots + |\sin(\theta)|}_{\text{n times}} = n|\sin(\theta)| = n \sin(\theta).$$

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