これらの2つのヤコビ式を調整する方法

2
JimSi 2019-09-11 06:33.

わかります

(1)。 $\dfrac {\partial }{\partial A}\det \left( \textbf{f}(\left( A\right) \right) = \det \left( \textbf{f}(\left( A\right) \right) tr\left( \textbf{f}(\left( A\right) ^{-1}\dfrac {d\textbf{f}(A)}{\partial A}\right) $ヤコビの公式を介して。ここで$\in \mathbb{R} ^{m\times n}$

私も特別な場合として知っています ${\displaystyle {\partial \det(A) \over \partial A_{ij}}=\operatorname {adj} ^{\rm {T}}(A)_{ij}.} = det(A)(A)^{-T}_{ij}$ そう $\dfrac {\partial \det \left( A\right) }{\partial A}=\det \left( A\right) A^{-T}$

しかし、私がこの結果を(1)から取得しようとすると。どこ$\textbf{f}\left( A\right)$ = A。取得します $\dfrac {\partial \det \left( A\right) }{\partial A}=\det \left( A\right) tr(A^{-1})$ どちらが結婚しないのですか?

1 answers

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Hyperplane 2019-09-18 05:14.

ヤコビの公式は言う

$$\frac{d}{d t} \operatorname{det} A(t)=\operatorname{tr}\left(\operatorname{adj}(A(t)) \frac{d A(t)}{d t}\right)$$

行列の場合 $A$ スカラー値に依存します $t$。しかしあなたの場合あなたは持っています$f(A)$これはおそらく、行列に依存する行列値関数です。したがって、ここでは直接適用できません。我々が持っている必要があります$A\in\mathbb R^{n\times n}$$f\colon\mathbb R^{n\times n}\to\mathbb R^{n\times n}$ ではなく $m\times n$、 そうしないと $\det(f(A))$ 必ずしも意味がありません。

連鎖律によって私達は持っています

$$ \frac{\partial \det(f(A))}{\partial A} = \frac{\partial \det(f(A))}{\partial f(A)}\circ\frac{\partial f(A)}{\partial A} $$

私は「$\circ$" の代わりに "$\cdot$「実際、連鎖律は関数の合成の導関数は導関数の合成に等しいと言っているので。線形関数は行列に対応し、行列の乗算は線形関数の合成に等しいので、人々は通常書く」$\cdot$"代わりに。ただし、4次テンソルなどの高次テンソルに遭遇する可能性があるため、行列に対して導関数を実行すると、これは厄介になります。 $\frac{\partial f(A)}{\partial A}$、行列の乗算はもはや意味がありません。代わりに、より一般的なテンソルの縮約について考える必要があります。(「$\cdot$「あなたが知っているなら、それはテンソルの縮約を意味します。)この特定のケースでは、

  • $\frac{\partial \det(f(A))}{\partial A}$ 二次テンソルです $ \frac{\partial \det(f(A))}{\partial A} = \Big(\frac{\partial \det(f(A))}{\partial A_{kl}}\Big)_{kl}$
  • $\frac{\partial \det(f(A))}{\partial f(A)}$ 二次テンソルです $ \frac{\partial \det(f(A))}{\partial f(A)} = \Big(\frac{\partial \det(f(A))}{\partial f(A)_{ij}}\Big)_{ij}$
  • $\frac{\partial f(A)}{\partial A} $ 4次テンソルです $ \frac{\partial f(A)}{\partial A} = \Big(\frac{\partial f(A)_{ij}}{\partial A_{kl}} \Big)^{ij}_{kl}$

そして、それらは次のように組み合わされます

$$ \frac{\partial \det(f(A))}{\partial A_{kl}} = \sum_{ij} \frac{\partial \det(f(A))}{\partial f(A)_{ij}} \frac{\partial f(A)_{ij}}{\partial A_{kl}} \qquad(1)$$

簡単に言えば、 $\frac{\partial \det(f(A))}{\partial f(A)} =\operatorname{adj}(f(A))^T$ただし、どのように構成されているかに注意する必要があります $\frac{\partial f(A)}{\partial A}$。場合$f(A)=A$ その後

$$\frac{\partial A}{\partial A} = \Big(\frac{\partial A_{ij}}{\partial A_{kl}}\Big)^{ij}_{kl} = (\delta_{ik}\delta_{jl})^{ij}_{kl} = I\otimes I$$

予想されるように、はアイデンティティテンソルです。

例:

  • $f(A)=A$ その後 $\frac{\partial f(A)}{\partial A} = I\otimes I$ そして $\frac{\partial \det(f(A))}{\partial A}= \operatorname{adj}(A)^T$
  • $f(A)=A^{-1}$ その後 $\frac{\partial f(A)}{\partial A} = - A^{-T}\otimes A^{-1}$ そして $\frac{\partial \det(f(A))}{\partial A}= - A^{-T}\operatorname{adj}(A^{-1})^TA^{-T}$
  • $f(A) = BA$ その後 $\frac{\partial f(A)}{\partial A} = I \otimes B$ そして $\frac{\partial \det(f(A))}{\partial A}= B^T\operatorname{adj}(BA)^T$
  • $f(A) = AB$ その後 $\frac{\partial f(A)}{\partial A} = B^T\otimes I$ そして $\frac{\partial \det(f(A))}{\partial A}= \operatorname{adj}(AB)^T B^T$

特に、原則として次のようなものがあります。

$$\frac{\partial f(A)}{\partial A} = U\otimes V \implies \frac{\partial \det(f(A))}{\partial A} = V^T\operatorname{adj}(f(A))^T U$$

差し込むので $U\otimes V = (U_{ik}V_{jl})^{ij}_{kl}$$(1)$ 収量 $$ \frac{\partial \det(f(A))}{\partial A_{kl}} = \sum_{ij} C_{ij}U_{ik}V_{jl} \implies \frac{\partial \det(f(A))}{\partial A} = U^T C V$$

編集:実際には、レイアウト規則が異なるため、転置バージョンを取得しますが、要点はわかります。このような計算をチェックおよび検証するための非常に便利なリソースは、Webサイトです。http://www.matrixcalculus.org/ 私の知る限り、この種の行列微積分を実行できる唯一のCASです。

編集2:わかりました。引用した本は、それ自体が単なる数式コレクションであるマトリックスクックブックを参照しています。あなたが引用するアイデンティティは、微分形式でのみそこに提示されます

$$ \partial(\operatorname{det}(\mathbf{X}))=\operatorname{det}(\mathbf{X}) \operatorname{Tr}\left(\mathbf{X}^{-1} \partial \mathbf{X}\right)$$

ただし、開始時にこのIDを使用しないでください。これは、次の場合にのみ機能するためです。 $X$反転可能です。代わりに、

$$\partial(\operatorname{det}(\mathbf{X}))=\operatorname{tr}(\operatorname{adj}(\mathbf{X}) \partial \mathbf{X}) = \operatorname{adj}(\mathbf{X})^T \cdot \partial \mathbf{X}$$

余因子は常に存在するので(*)。トレースと「$\cdot$「これは実際にはより一般的なテンソルの縮約であり、標準の行列トレース/行列乗算だけでなく、この式は(1)と同等です。

(*)実装するときは、実際に逆行列や余因子行列を計算するのではなく、線形システムソルバーの呼び出しに置き換えることに注意してください。

明らかに、どちらの表記も、どちらの軸を縮小する必要があるかを明示的に使用するように指示していないため、最適ではありません。この情報も必要な場合は、アインシュタインの縮約記法に固執するか、このペーパーで提案されているようなよりエキゾチックなものを使用する必要があります。https://arxiv.org/abs/1208.0197 (私は提案された表記法を自分で使用していませんが、実際には混乱を解消するのに大いに役立ちました)

備考:補足として:トレースを避けるべきだと思う理由は2つあります。一方では、トレースはテンソルの縮約であるため、一種の重複表記です。また、人々が実際に実装する方法を見てきました$tr(A^TB)$、これは行列積全体を計算するので非常に非効率的ですが、対角要素のみが必要です。

備考2:ちなみに、フロベニウス積は誘導された内積に他なりません$\mathbb R^m\otimes \mathbb R^n$、cf。 https://en.m.wikipedia.org/wiki/Tensor_product_of_Hilbert_spaces (行列を次のように考えます $A=\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^n A_{ij} e_i \otimes e_j$

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