Dがゼロに等しくない平面方程式-パートII

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Ryan Walter 2019-08-27 19:23.

前の質問に続いて- https://math.stackexchange.com/questions/3336057/plane-equation-where-d-not-equal-to-zero:

私は平面の方程式、具体的には平面方程式の直感的な理解を深めようとしています。 $D \neq 0$

$Ax + By + Cz = D$


下の画像は3D空間です。オレンジ色の平行四辺形は、原点と交差しない平面を表しています。ポイント$P_1$$P_2$ そして $P_3$ すべてが飛行機の上にあります。

これらの点は、位置ベクトルで表すことができます。どこ$\vec v_1$$\vec v_2$ そして $\vec v_3$ ポイントに対応 $P_1$$P_2$ そして $P_3$ それぞれ:

私が現在それをどのように理解しているかに基づいて、以下に描かれているベクトル: $(\vec v_1 - \vec v_2)$ そして $(\vec v_3 - \vec v_2)$、は平面に平行です。つまり、どちらかを移動して平面に直接配置すると、平面全体で完全に平らになります。の外積を取る$(\vec v_1 - \vec v_2) \times (\vec v_3 - \vec v_2)$ ベクトルを生成する必要があります($\vec n$)両方に直交します $(\vec v_1 - \vec v_2)$ そして $(\vec v_3 - \vec v_2)$、したがって平面。法線ベクトルを描画しようとはしていません$\vec n$ それはy軸の周りにあるように私には思えるので、視覚化するのはかなり簡単なはずです:

私が今経験したことに基づいて、互いに矛盾しているように見える2つの事実があります:

  1. ベクトル $\vec n$ 両方に正常です $(\vec v_1 - \vec v_2)$ そして $(\vec v_3 - \vec v_2)$$\vec n$ したがって、平面に垂直です( $(\vec v_1 - \vec v_2)$ そして $(\vec v_3 - \vec v_2)$、平面に平行です)。
  2. $Ax + By + Cz \neq 0$

の値 $D$ 平面方程式では、 $0$、平面が原点を通過しないため。逆に、いずれかのベクトル$(\vec v_1 - \vec v_2)$ または $(\vec v_3 - \vec v_2)$ 法線ベクトルが点在 $(Ax + By + Cz)$ に等しい必要があります $0$ 両方のベクトルが法線ベクトルに直交しているため(または少なくとも私にはこのように見えます)。

2 answers

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Allawonder 2019-08-28 14:42.

矛盾はありません。

あなたが考えているように見えるので混乱が起こります $(x,y,z)$平面方程式では、平面に平行な任意のベクトルを表します。しかし、そうではありません。

平面の方程式の導出を完了しましょう。ポイントを考えます$u,v,w$飛行機のように。次に、変位ベクトル$\vec{uv}$ そして $\vec{uw}$平面に平行です。したがって、平面の法線は次のようになります。$$\mathbf n=\vec{uv}×\vec{uw}.$$この法線は、平面に平行な任意のベクトルに直交します。したがって、$p=(x,y,z)$ 平面内の任意の点を表す場合、平面内の任意のベクトルは次の式で与えられます。 $\vec{up},$ 平面の方程式が次の式で与えられるように $$\mathbf n\cdot \vec{up}=0.$$これを展開すると、もちろん平面が原点を通過しない限り、ゼロ以外で出てくる定数項があることがわかります。これは、あなたの場合はそうではありません。したがって、あなたはそれを見ることができます$(x,y,z)$ 平面内の任意のベクトルではなく、任意の点を表します。

方程式を解釈する別の方法があります $$ax+by+cz=d$$これにより、最初に上記のフォームに入力しなくても、これを直感的に確認する方法がわかります。状況に都合の良い方を使用するだけです。つまり、$(x,y,z)$は平面内の任意の点であり、位置ベクトルとして二重に考えることができます。同様に、$(a,b,c)$特定の位置ベクトルです。条件はそれを言います(想像的に両側をで割ることによって$|(a,b,c)|$ 絶対値のみを考えます)方程式は位置ベクトルを持つ点のセットを記述します $(x,y,z)$ 固定位置ベクトル上の影の長さ $(a,b,c)$は一定です。これで、そのような点のセットが、それに垂直な固定ベクトルを持つ平面であることがわかります。番号$d,$ 絶対に取られ、 $\sqrt {a^2+b^2+c^2}$ 原点からの平面の距離、つまり $$\frac{|d|}{\sqrt {a^2+b^2+c^2}}.$$ その場合、平面が原点を通過するのは、次の場合に限ります。 $d$消えます。しかし、これは元の解釈とは何の関係もありません-それは代替の解釈です。

いずれにせよ、あなたはそのシンボルを見ることができます $(x,y,z)$は平面にあるベクトルを記述しませが、それは平面内の点、または同等に、そのような点の位置ベクトルです。

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amd 2019-08-28 13:14.

ここに矛盾はありません。あなたをつまずかせているように見えるのは、平面に垂直であることは、平面上の点の位置ベクトルに直交していることと同じではないということです。シンボルの急増を減らすために、以下では、で作業するときによく行われるように、位置ベクトルでポイントを識別します。$\mathbb R^n$

プロパティ#1を使用して、で平面を定義できます。 $\mathbb R^3$:与えられたベクトル $\vec n=(A,B,C)\ne0$ とポイント $P_0$、通過する平面 $P_0$ 通常で $\vec n$ ポイントのセットです $P$ そのような $\vec n\cdot(P-P_0)=0$。この定義のプロパティ#1を確認するのは簡単です。場合$P_1$ そして $P_2$ 平面上の任意の2点であり、 $$\vec n\cdot(P_1-P_2) = \vec n\cdot(P_1-P_0+P_0-P_2) = \vec n\cdot(P_1-P_0)+\vec n\cdot(P_2-P_0)=0.$$ 平面の定義方程式を次のように書き直すことができます。 $$\vec n\cdot P=\vec n\cdot P_0.\tag{*}$$ ポイント $P_0$ は固定されているので、この方程式は、 $\vec n$平面上のすべての点(の位置ベクトル)は一定です。この定数を呼び出す$-D$ この方程式を座標で展開して、使い慣れたものを取得します $Ax+By+Cz+D=0$。必ずしもそれに従うとは限らないことに注意してください$\vec n\cdot P=0$

今それを仮定します $P=\alpha\vec n$平面上の点です。その後、$\vec n\cdot P = \alpha\vec n\cdot\vec n=-D$、 そこから $\alpha = -D/\lVert\vec n\rVert^2$。だから、もし$\alpha\gt0$、の距離を移動することにより、原点から平面に到達できます。 $\lvert D\rvert/\lVert\vec n\rVert$ の方向に $\vec n$; もし$\alpha\lt0$、反対方向に移動します $\vec n$; で、もし$\alpha=0$、原点は平面上にあります。以来$\vec n$ 平面に直交している、 $\lvert D\rvert/\lVert\vec n\rVert$ また、原点からの平面の距離。

ベクトルの正射影を思い出してください $\vec v$$\vec n$ is given by the expression $$\left({\vec n\over\lVert\vec n\rVert} \cdot \vec v\right){\vec n\over\lVert\vec n\rVert} = {\vec n\cdot\vec v\over \vec n\cdot\vec n}\vec n.$$ Multiplying both sides of equation (*) by $\vec n/(\vec n\cdot\vec n)$, we have $${\vec n\cdot P\over\vec n\cdot\vec n}\vec n = {\vec n\cdot P_0\over\vec n\cdot\vec n}\vec n,$$ which gives us another characterization of the plane: it’s the set of points whose position vectors have the same orthogonal projection onto a fixed nonzero vector $\vec n$. This last should make clear why $\vec n\cdot P$ for a point on the plane is not necessarily equal to zero: this fixed projection onto $\vec n$ can be any scalar multiple of $\vec n$.

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