これらの特性を持つ2つの異なる自然数のペアが存在しないことを証明する

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Akhmad Sumekenov 2019-08-21 01:28.

問題は、存在しないことを証明すること、または自然数の2つの異なるペア(順列まで)が存在することを示すことです。 $(a, b)$ そして $(c, d)$ st $$\operatorname{lcm}(a, b) = \operatorname{lcm}(c, d)$$ $$\gcd(a, b) = \gcd(c, d)$$ そして $$\frac{a + b}{2} = \frac{c + d}{2}$$

LCMとGCDの両方が等しい場合、2つのペアの積が同じで合計が同じでGCDが同じであることを示すのは簡単です。これらの条件下で2つの異なるペアが存在することは不可能であると私は直感していますが、それを厳密に証明する方法は不明です。

4 answers

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Teresa Lisbon 2019-08-21 01:38.

もちろん、そうではありません。

これは、2つの数値の積がgcdとlcmの積であるためです。

したがって、 $(a,b) = (c,d)$ そして $\operatorname{lcm}[a,b] = \operatorname{lcm}[c,d]$ その後、製品を服用すると $ab = cd$

さらにあなたは本質的に欲しい $a+b = c+d$。これを二乗し、方程式を引きます$4ab = 4cd$ 両側から平方根を取り、 $|a-b| = |c-d|$。これにより、$a-b = c-d$ または $b-a = c-d$。それを与える$(a,b)$ の順列です $(c,d)$

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Matthew Daly 2019-08-21 01:42.

2組の数値のLCMが $x$ とのGCD $y$、そして彼らは同じ製品を持っています(すなわち $xy$)。数値の2つのペアの平均が$z$、そしてそれらは両方とも同じ合計を持っています(すなわち $2z$)。

だから、それを考えると $\{a,b\}$ そして $\{c,d\}$合計Sと積Pが同じですが、区別できますか?いいえ。のグラフ$x+y=S$ に平行な線です $y=-x$、およびのグラフ $xy=P$は長方形の双曲線です。その連立方程式には2つの解があり、それらは直線に関して対称です。$y=x$

2
Bill Dubuque 2019-08-21 02:36.

我々は持っています $\ a\!+\!b= c\!+\!d,\ $ $\,ab = cd\,$ を使用して $\,{\rm lcm}(x,y)\gcd(x,y) = xy$

したがって、 $\,(x\!-\!a)(x\!-\!b) = (x\!-\!c)(x\!-\!d)\,$ 同じルーツを持っているので $\,\{a,b\} = \{c,d\}$

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Matteo 2019-08-21 01:50.

そのような整数が存在する場合 $a,b,c,d$ 条件を満たすと、システムによって生成されます。 $$\left\{\begin{matrix} a+b=c+d \\ab=cd \end{matrix}\right.$$

これから、私はobtai、代わりに $a=\frac{cd}{b}$$c(d-b)=b(d-b)$、 そう $c=b$ そして最初の方程式から $a=d$

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