解析接続による発散和:べき級数とディリクレ級数

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runway44 2019-08-20 18:20.

仮定します $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$発散和です。べき級数の正則化された値を定義します($\sf P$)の解析接続になる $\sum_{n=1}^{\infty} a_n z^n$ で評価 $z=1$、およびそのディリクレ級数の正則化された値($\sf D$)の解析接続になる $\sum_{n=1}^{\infty} a_nn^{-s}$ で評価 $s=0$

推測。発散級数のべき級数正則化値が存在する場合、ディリクレ級数正則化値も存在し、それらは等しくなります。

これは本当ですか?または、特定のクラスの発散和に当てはまることがわかっていますか?


これについての私の唯一の証拠は、リーマンゼータ関数から来ています。我々は持っています

$$ \begin{array}{lllll} 1+1+1+\cdots & = & \zeta(0) & = & -\frac{1}{2} \\ 1+2+3+\cdots & = & \zeta(-1) & = & -\frac{1}{12} \end{array} \tag{$\ sf D$} $$

ただし、これらのどちらにもべき級数の正則化された値はありません。

$$ \begin{array}{lllll} 1+1+1+\cdots & = & \frac{1}{1-1} & = & \infty \\ 1+2+3+\cdots & = & \frac{1}{(1-1)^2} & = & \infty. \end{array} \tag{$\ sf P$}$$

これは、交代級数を調べることで解決できます。

$$ \begin{array}{llllcll} 1-1+1-\cdots & = & \eta(0) & = & (1-2^{1-0})\zeta(0) & = & \frac{1}{2} \\ 1-2+3-\cdots & = & \eta(-1) & = & (1-2^{1-(-1)})\zeta(-1) & = & \frac{1}{4} \end{array} \tag{$\ sf D$}$$

どこ $\eta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}n^{-s}=(1-2^{1-s})\zeta(s)$ ディリクレのイータ関数であり、

$$ \begin{array}{lllll} 1-1+1-\cdots & = & \frac{1}{1-(-1)} & = & \frac{1}{2} \\ 1-2+3-\cdots & = & \frac{1}{(1-(-1))^2} & = & \frac{1}{4} \end{array} \tag{$\ sf P$}$$

べき級数の正則化された値です。より一般的には、

$$ \frac{k!}{(1-w)^{k+1}} = \sum_{n=1}^{\infty} n(n-1)\cdots(n-(k-1))w^{n-k} $$

(分化後 $(1-z)^{-1}$ の合計 $k$-回)、これは

$$ \frac{k!}{(1-z)^{k+1}}= \sum_{n=1}^{\infty} \left(\sum_{r=0}^k s(k,r)n^r \right)w^{n-k} $$

$$ \frac{k!w^k}{(1-w)^{k+1}} = \sum_{r=0}^k s(k,r) \mathrm{Li}_{-r}(w). $$

(注意 $s(k,r)$ スターリング番号です。)

これは、の有効な分析接続として使用できます。 $\mathrm{Li}_{-r}(w)$ 専門にする例 $w=-1$ これは、以前の観測を生成する必要があります $\mathrm{Li}_{-r}(-1)=-\eta(-r)$

1 answers

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reuns 2019-08-20 23:52.

のべき級数の合計 $(-2)^n$ は明確に定義されていますが、ディリクレ級数の合計はありません。

べき級数とディリクレ級数の総和の主な関係はこれです

ディリクレ級数の場合 $F(s)=\sum_{n=1}^\infty a_nn^{-s}$ いくつかのために収束します $s_0$ その後 $a_n = O(n^{s_0})$

$F(s)$ 絶対収束し、それは分析的です $\Re(s)> \Re(s_0)+1$

$f(z) = \sum_{n=1}^\infty a_nz^n$ の分析です $|z| < 1$ そして $$\Gamma(s)F(s) = \int_0^\infty t^{s-1} f(e^{-t})dt, \qquad \Re(s) > \Re(s_0)+1$$ またなら $f(1)=\lim_{z \to 1^-}f(z) $ 存在する場合、後者の積分は収束し、 $\Re(s) > 0$。さらに、$$\Gamma(s)F(s) =f(1) \Gamma(s)+ \int_0^\infty t^{s-1} (f(e^{-t})-f(1)e^{-t})dt, \qquad \Re(s) > 0$$ どこ $$f(e^{-t})\!-\!f(1)e^{-t} = o(1) \implies \int_0^\infty t^{s-1} (f(e^{-t})-f(1)e^{-t})dt = o(\frac1{\Re(s)}) \implies f(1) = \lim_{s \to 0^+} F(s)$$ またなら $\lim_{z \to 1^-}f'(z) =f'(1)$ 存在する $f(e^{-t})-f(1)e^{-t} = O(t)$ そのため $\int_0^\infty t^{s-1} (f(e^{-t})-f(1)e^{-t})dt$ 収束し、それは分析的です $\Re(s) > -1$ つまり、 $F(s)$ 分析接続を継続できます $\Re(s) > -1$ それゆえ

のべき級数の総和とディリクレ級数の総和 $a_n$ は同じ。

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