Levi-Civita記号を使用したウェッジおよびテンソル積の同等性

2
Antoni Parellada 2019-08-18 14:20.

ではこの回答以下は、2次元のケースに記載されています。

\ begin {eqnarray} v \ land w&=&\ frac {1} {2!}(v \ land ww \ land v)\\&=&\ frac {1} {2!} \ epsilon _ {\ mu \ nu} v ^ {\ mu} \ land w ^ {\ nu} \\&=&\ frac {1} {2!} \ epsilon _ {\ mu \ nu}(v ^ {\ mu} \ otimes w ^ { \ nu} -w ^ {\ nu} \ otimes v ^ {\ mu})\\&=&\ epsilon _ {\ mu \ nu} v ^ {\ mu} \ otimes w ^ {\ nu}。\ end {eqnarray}


注意:


私は、この回答で行われたことを複製し、2つのベクトルから2つのベクトルを構築するインデックスの仕組みを見たかったのです。$v, w \in\mathbb R^3, $ といった $v=1e_1+3e_2-2e_3$ そして $w=5e_1+2e_2+8e_3:$

$$v\wedge w=(1\cdot e_1 + 3 \cdot e_2 - 2 \cdot e_3) \wedge (5\cdot e_1 + 2 \cdot e_2 + 8 \cdot e_3) = \\[2ex] 1\cdot 5 \cdot e_1 \wedge e_1 + 1\cdot 2 \cdot e_1 \wedge e_2 + 1\cdot 8 \cdot e_1 \wedge e_3 \\ +3\cdot 5 \cdot e_2\wedge e_1 +3\cdot 2 \cdot e_2\wedge e_2 +3\cdot 8 \cdot e_2\wedge e_3 \\ -2\cdot 5 \cdot e_3\wedge e_1 -2\cdot 2 \cdot e_3\wedge e_2 -2\cdot 8 \cdot e_3\wedge e_3 = \\[2ex] 5 \cdot \mathbb O + 2 \cdot e_1 \wedge e_2 - 8 \cdot e_3 \wedge e_1 \\ -15 \cdot e_1\wedge e_2 +6 \cdot \mathbb O +24 \cdot e_2\wedge e_3 \\ -10 \cdot e_3\wedge e_1 +4 \cdot e_2\wedge e_3 -16 \cdot \mathbb O = \\[2ex] \bbox[5px,border:2px solid red] { 28 \cdot e_2\wedge e_3-18 \cdot e_3\wedge e_1 - 13 \cdot e_1\wedge e_2}$$

最後から始めて、計算しようとしています $\epsilon_{\mu\nu}v^\mu\otimes w^\nu:$

$$\epsilon_{\mu\nu}v^\mu\otimes w^\nu= \\[2ex] \color{blue}{\epsilon_{11}} 1\cdot 5 \cdot e_1 \otimes e_1 + \color{blue}{\epsilon_{12}} 1\cdot 2 \cdot e_1 \otimes e_2 + \color{blue}{\epsilon_{13}} 1\cdot 8 \cdot e_1 \otimes e_3 + \\ \color{blue}{\epsilon_{21}} 3\cdot 5 \cdot e_2\otimes e_1 + \color{blue}{\epsilon_{22}} 3\cdot 2 \cdot e_2\otimes e_2 + \color{blue}{\epsilon_{23}} 3\cdot 8 \cdot e_2\otimes e_3 + \\ \color{blue}{\epsilon_{31}} (-2)\cdot 5 \cdot e_3\otimes e_1 +\color{blue}{\epsilon_{32}}(-2)\cdot 2 \cdot e_3\otimes e_2 +\color{blue}{\epsilon_{33}}(-2)\cdot 8 \cdot e_3\otimes e_3 = \\[2ex] \color{blue}0\cdot 1\cdot 5 \cdot e_1 \otimes e_1 + \color{blue}1\cdot 1\cdot 2 e_1 \otimes e_2 + \color{blue}1 \cdot 1\cdot 8 e_1 \otimes e_3 + \\ \color{blue}{(-1)}\cdot 3\cdot 5 e_2\otimes e_1 + \color{blue}0 \cdot 3\cdot 2 e_2\otimes e_2 + \color{blue}1 \cdot 3\cdot 8 e_2\otimes e_3 + \\ \color{blue}{(-1)}\cdot (-2)\cdot 5 e_3\otimes e_1 +\color{blue}{(-1)}\cdot(-2)\cdot 2 e_3\otimes e_2 +\color{blue}0\cdot (-2)\cdot 8 \cdot e_3\otimes e_3 = \\[2ex] \bbox[5px,border:2px solid red] { 2 e_1 \otimes e_2 + 8 e_1 \otimes e_3 - 15 e_2\otimes e_1 + 24 e_2\otimes e_3 + 10 e_3\otimes e_1 + 4 e_3\otimes e_2} $$

これら2つの結果を調整するにはどうすればよいですか?

注意:コメントによると、これを調整することは不可能です:記号の変更は関連できません $v\otimes w$$w\otimes v$ -最初の方程式が正しくありません。


2番目の問題は、以下の私の拡張コメント/「回答」に反映されており、ウェッジ製品を並べ替えるときに通常の記号の変更を元に戻すように見えるレヴィチビタ記号の使用に言及しています...

本質的な問題は、LeviCivitaシンボルが、クロス積の場合と同様に、ウェッジ積の基礎を自然に「処理」していないように見えることです。LCシンボルはウェッジ製品にどのように適用する必要がありますか?

2 answers

1
lisyarus 2019-08-22 03:17.

エクステリア製品を見る2つの方法に少し飛び込みましょう。

最初のものは、私がそれを好む方法です、見ることです $v \wedge w$外側の正方形の要素として $\Lambda^2 V$ 元のベクトル空間の $V$ ベクトルを含む $v$ そして $w$。それは次元のベクトル空間です${\dim V \choose 2}=\frac{\dim V \cdot(\dim V-1)}{2}$ 2つのベクトルの外装製品が住む場所として特別に作られました。

古典的な微分幾何学と物理学でより一般的な2番目の方法は、埋め込むことです。 $\Lambda^2 V$ の部分空間として $V \otimes V$つまり、交互の(反対称)テンソルの空間。埋め込みは次のようになります。

$$v \wedge w \mapsto \frac{1}{2!}(v\otimes w - w \otimes v)$$

またはこのように

$$v \wedge w \mapsto v\otimes w - w \otimes v$$

これらの埋め込みを暗黙的に使用すると、これをウェッジ積の定義と見なすことができ、交互のテンソルの空間で値を取り、外積の正方形の部分を完全にスキップします。

どちらの埋め込みも文献で使用されているようです。私が見ているように、違いは好みの問題です。最初の埋め込みで計算が簡単になるものと、2番目の埋め込みで計算が簡単になるものがあります($\operatorname{char}\neq 0$)。

最初の埋め込みを使用するのか、2番目の埋め込みを使用するのかは私には完全にはわかりません。実際、これが、テンソルを交互に使用してウェッジ製品を識別するというアイデアを好まない理由です。私たちが$\Lambda^2 V$、すべてが正確に定義されています。


のくさび積の計算について $v=1e_1+3e_2−2e_3$ そして $w=5e_1+2e_2+8e_3$、たとえば2番目の埋め込みを使用すると、次のようになります。

$$v \wedge w = v \otimes w - w \otimes v = \\ = (1e_1+3e_2−2e_3) \otimes (5e_1+2e_2+8e_3) - (5e_1+2e_2+8e_3) \otimes (1e_1+3e_2−2e_3) = \\ = \big[5e_1\otimes e_1 + 2e_1\otimes e_2+8e_1\otimes e_3+15e_2\otimes e_1+6e_2\otimes e_2+24e_2\otimes e_3-10e_3\otimes e_1-4e_3\otimes e_2-16e_3\otimes e_3\big] - \big[5e_1\otimes e_1+15e_1\otimes e_2-10e_1\otimes e_3+2e_2\otimes e_1+6e_2\otimes e_2-4e_2\otimes e_3+8e_3\otimes e_1+24e_3\otimes e_2-16e_3\otimes e_3\big] = \\ = -13e_1\otimes e_2+18e_1\otimes e_3+13e_2\otimes e_1+28e_2\otimes e_3-18e_3\otimes e_1-28e_3\otimes e_2 = \\ = -13(e_1\otimes e_2-e_2\otimes e_1)+28(e_2\otimes e_3-e_3\otimes e_2)-18(e_3\otimes e_1-e_1\otimes e_3) = \\ = -13e_1\wedge e_2 +28e_2\wedge e_3 - 18 e_3\wedge e_1$$


リンクされphysics.se答え、重要なことは、それが2次元で動作することです。2番目の埋め込みを使用すると、

$$v \wedge w = (v^1w^2-v^2w^1) e_1 \wedge e_2$$

そして、任意の2つのベクトルのウェッジ積はに比例するため $e_1 \wedge e_2$、2つのベクトルを番号で識別するのが一般的です(ホッジ双対を参照)。この場合、$e_1 \wedge e_2$ 一部、私たちは得る

$$v \wedge w = \epsilon_{ij}v^iw^j$$

一般に、n個のベクトルのn倍のウェッジ積は次の倍数です。 $e_1 \wedge \dots \wedge e_n$通常は番号で識別されます。ウェッジ積は、n個のインデックスを持つLevi-Civitaを使用して計算できます。

$$v_1 \wedge \dots \wedge v_n = \epsilon_{i_1\dots i_n}v_1^{i_1}v_2^{i_2}\dots v_n^{i_n}$$

これは実際には行列式と同じです。

0
Antoni Parellada 2019-08-19 17:52.

拡張コメントのような...

方程式のRHSが本当に意味することを意味していると仮定すると

$$\frac{1}{2!}\epsilon_{\mu\nu}v^\mu w^\nu \, e_\mu\wedge e_\nu,$$

LeviCivitaシンボルを使用する方法を確認できる唯一の方法は、次のように、ウェッジ積の基底ベクトルを事前に確立することです。 $\{e_1 \wedge e_2, \;e_2 \wedge e_3, \; e_1 \wedge e_3\}.$

それを覚えている $v=1e_1+3e_2-2e_3$ そして $w=5e_1+2e_2+8e_3,$

外積でLCシンボルを使用することで、並列を確立できます。また、3次元で代数的に同一の操作を行うことができます。

$$\begin{align} v \times w &= \begin{vmatrix}3 &- 2\\2&8 \end{vmatrix} e_1 - \begin{vmatrix}1 &- 2\\5 &8 \end{vmatrix} e_2 + \begin{vmatrix}1 & 3\\5& 2 \end{vmatrix} e_3\\[2ex] &= \epsilon_{ijk}\;v_i\,w_j\; e_k \\[2ex] &= \epsilon_{123} \; 1\cdot 2\;e_3 + \epsilon_{213}\; 3\cdot 5 \; e_3\\ &+ \epsilon_{132} \; 1\cdot 8\; e_2 + \epsilon_{312}\; (-2)\cdot 5 \; e_2 \\ &+ \epsilon_{231} \; 3\cdot 8\; e_1 + \epsilon_{321}\; (-2)\cdot 2 \; e_1 \\[2ex] &= 1 \;\cdot 2\;e_3 + (-1)\;\cdot 15 \; e_3\\ &-1 \; \cdot 8\; e_2 + 1\; \cdot (-10) \; e_2 \\ &+ 1 \; \cdot 24\; e_1 -1\; \cdot (-4) \; e_1 \\[2ex] &=28 \,e_1 -18 \, e_2 -13 \,e_3 \end{align}$$

上記の基底ベクトルをバイベクトル基底に置き換えることができれば $e_1\wedge e_2$ の代わりに $e_3;$ $e_2\wedge e_3$ にとって $e_1;$ そして $e_1\wedge e_3,$ またはさらに良い、 $e_3 \wedge e_1$ にとって $e_2, $係数と正しい符号の厳密な対応が得られます。ただし、外積にLCシンボルを使用する場合は、基底ベクトルをそのように配置する必要はありませんでした。シンボルは、対応する係数とのマッチング係数を処理しました。$e_1,$ $e_2$ または $e_3.$

これをウェッジ積に外挿す​​る方法がわかりません...

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