の要素 $E^{\times},\cdot$ 商環の $E:= \frac{\mathbb{Z}_3[X]}{\langle x^2 + x + 2\rangle}$

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Belgium_Physics 2019-08-18 09:42.

フィールドを検討してください $E:= \frac{\mathbb{Z}_3[X]}{\langle x^2 + x + 2\rangle}$。私が正しければ、商環の要素は次のように見つけることができます。$$a_0 + a_1x + \langle x^2 + x + 2\rangle.$$ だから私たちは可能性を得ました $\mathbb{Z}_3$$$\{0,1,2,\beta, 1+\beta , 2+\beta, 2\beta, 1+2\beta ,2+2\beta \}.$$ ここに $\beta = \overline{x} = x + \langle x^2 + x + 2\rangle$ のルートです $x^2 + x+2$。(私の表記が間違っている場合は訂正してください。)

では、どのようにして単位の要素を取得しますか $E^{\times},\cdot$。私が想定し$1$その中にありますが、他の要素を計算する方法がわかりません。要素を使用すると、の積表はどうなりますか$E^{\times},\cdot$

他の小さな質問:私たちはそれを知っています $\beta$ のソリューションです $x^2 + x+2$、他のルートは何ですか?

2 answers

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Belgium_Physics 2019-08-18 22:01.

商リングで適切に乗算する方法を次の方法で理解した後、有限体の乗算テーブルを作成し、可能なすべての組み合わせを計算して単位要素を見つけることができました。たとえば、次のように見つかりました:\ begin {split} \ beta(1 + \ beta)&= x ^ 2 + x + \ langle x ^ 2 + x + 2 \ rangle \\&= x ^ 2 + x + \ langle x ^ 2 + x + 2 \ rangle +(0 + \ langle x ^ 2 + x + 2 \ rangle)\\&= x ^ 2 + x + \ langle x ^ 2 + x + 2 \ rangle + 2x ^ 2 + 2x + 4 + \ langle x ^ 2 + x + 2 \ rangle \\&= 3x ^ 2 + 3x +4 + \ langle x ^ 2 + x + 2 \ rangle \\&= 0 + 0 + 1 + \ langle x ^ 2 + x + 2 \ rangle \\&= 1 \ end {split}他の要素に対してこれを行うと、次のことがわかります。$(2+\beta)(1+2\beta)=1$ そして $(2\beta)(2+2\beta)=1$

したがって、ユニットの要素は次のようになります。 $E^{\times},\cdot = \{1,\beta,1+\beta,2+\beta,1+2\beta,2\beta,2+2\beta\}$。積表は、すべての要素を互いに乗算することによって求められます。これらは上記と同様に計算されます。

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lefuneste 2019-08-18 10:33.

1)1行目以降は書き続けます $x^2+x+1$ の代わりに $x^2+x+2$ (大文字の場合も同様)。

2)方程式のもう一方の根 $X^2+X+2=0$ です $2\beta +2$、その合計のために $\beta+ (2\beta+2)$ その方程式の根の $2=-1$、の係数の反対 $X$

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