場合 $a$ は平方和であり、そのノルムがである要素が存在します $-1$。

2
Wyatt Kuehster 2019-08-10 03:02.

これは、Patrick Morandiの「Fieldand Galois Theory」からの質問(2.9.3)の一部です。私はこの事実に固執しています。

$F(\sqrt{a})/F$ は体の拡大であり、 $a\in F-F^2$ そして $F$原始的な1の4乗根は含まれていません。場合$a$ の2つの二乗の合計です $F$、 証明してください $N_{F(\sqrt{a})/F}(\alpha)=-1$ いくつかのための $\alpha\in F(\sqrt{a})$ そしてそれ $N_{F(\sqrt{a})/F}(\alpha)=a$ いくつかのための $\alpha\in F(\sqrt{a})$。したがって、それを示す$N_{F(\sqrt{a})/F}(b)\equiv a \mod F^{*2}$ いくつかのための $b\in F(\sqrt{a})$

そんなこと知ってる $\text{Gal}(F(\sqrt{a})/F=\{1,\sigma\}$ どこ $\sigma:\sqrt{a}\mapsto-\sqrt{a}$。また、$\{1,\sqrt{a}\}$ の基礎です $F(\sqrt{a})$ 以上 $F$、したがって、任意の要素のノルム $c_1+c_2\sqrt{a}\in F(\sqrt{a})$ ただ $\left(c_1+c_2\sqrt{a}\right)\left(c_1-c_2\sqrt{a}\right)=c_1^2-c_2^2a$

ノルムマップが全射であるという事実 $F$は有限体であり、最初の2つの事実をすぐに示します。しかし、それは何の関係もありません$a$ 二乗和であること、またはそれ $F$ 単一性の4番目の根はなく、もちろん有限体に対してのみ機能します。

また、あなたが計算する場合 $\min(\sqrt{a-1},F)=x^2-a-1$、その後 $N_{F(\sqrt{a})/F}=(-1)^n(-1)^{\frac{n}{2}}=-1$ 以来 $n=[F(\sqrt{a}):F]=2$。しかし、それはまだ敷地とは何の関係もないので、これも間違っているようです。

ここでどのように進めますか?

2 answers

5
reuns 2019-08-10 10:43.

$$a = u^2+v^2, \qquad N_{F(\sqrt{a})/F}(\frac{u+\sqrt{a}}{v}) =\frac{u+\sqrt{a}}{v}\frac{u-\sqrt{a}}{v}= \frac{u^2-a}{v^2} =-1,\\ \qquad N_{F(\sqrt{a})/F}(\sqrt{a}\frac{u+\sqrt{a}}{v}) = - N_{F(\sqrt{a})/F}(\sqrt{a}) = a$$

1
nguyen quang do 2019-08-10 22:29.

あなたの表記は少し不安定です: $L$ 当然のことながら、定義されていません $F(\sqrt a)$; 最初の質問では、2つ$\alpha$同じであってはなりません。これは言われている、$a$ の平方和です $F$ iff $a$ からの標準です $F(\sqrt {-1})$ (これはの二次拡張です $F$ 仮説による)、そして後者の条件は明らかに同等です $-1$ からの標準であること $F(\sqrt a)$。以来$-a$ すでにからの標準です $F(\sqrt a)$、そうなります $a$

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