MATLABを使用して、数理生物学で遭遇する2つの偏微分方程式のシステムを解く

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mzhsy034 2019-08-08 15:23.

私は学部の夏のプロジェクトに参加していて、論文を勉強しています。次の2つの境界条件を持つ次の2つの偏微分方程式を解くことができればと思います。 $y_1(t,a)$ そして $y_2(t,a)$ MATLABを使用します。 $$\frac{\partial y_1}{\partial t}+\frac{\partial y_1}{\partial a}=f_1(t)y_1, \qquad t\geqslant0, \quad a\in[0,\tau_1],$$ 境界条件付き $y_1(t,0)=c_1$$$\frac{\partial y_2}{\partial t}+\frac{\partial y_2}{\partial a}=f_2(t)y_2, \qquad t\geqslant0,\quad a\in[0,\tau_2],$$ 境界条件付き $y_2(t,0)=c_2y_1(t,\tau_1)$

ここに、 $y_1(t,a)$ そして $y_2(t,a)$ の機能です $t$ そして $a$。機能$f_1(t)$ そして $f_2(t)$ の既知の機能です $t$ しかし、かなり複雑で、 $\tau_1,\tau_2,c_1,c_2$ 既知の定数です。

以来 $y_1(t,a)$ の2番目の偏微分方程式の境界条件に関与している $y_2(t,a)$、私は最初の偏微分方程式を解くことを目指しています $y_1(t,a)$ 最初に、次にその結果を使用して2番目の偏微分方程式を解きます。 $y_2(t,a)$

私はPDEとMATLABの両方に不慣れですが、それを行うための可能な方法を探すために数日を費やしましたが、それでもヒントはありません。私が調べることができるいくつかのヒントまたは可能な方向性が提供されれば幸いです。前もって感謝します。

2 answers

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lonza leggiera 2019-08-08 18:03.

一階偏微分方程式は、一般に特性曲線法によって解くことができます。この方法を使用して最初の偏微分方程式を解くには、$$ \phi_z(x) = y_1(z + x, x)\ . $$次に、\ begin {eqnarray} \ frac {d \ phi_z} {dx}(x)&=&\ frac {\ partial y_1} {\ partial t}(z + x、x)+ \ frac {\ partial y_1} { \ partial a}(z + x、x)\\&=&f_1(z + x)\、\ phi_z(x)\。\ end {eqnarray}これはの1次常微分方程式です$\ \phi_z(x)\ $、解決策があります:\ begin {eqnarray} \ frac {\ phi_z(x)} {\ phi_z(0)}&=&e ^ {\ int_0 ^ xf_1(z + u)\、du} \\&=& e ^ {\ int_z ^ {x + z} f_1(u)\、du} \。\ end {eqnarray}

さて、 $\ \phi_z(0)=y_1(z, 0) = c_1\ $、および $\ y_1(t,a)=\phi_{t-a}(a)\ $、 そう $$ y_1(t,a)=c_1 e^{\int_{t-a}^tf_1(u)\,du}\ . $$これで、2番目の偏微分方程式も同様に解くことができます。ただし、対応するODEを解くときは、からの間隔で積分する必要があります。$\ x\ $$\ \tau_1\ $からではなく $\ 0\ $$\ x\ $ 私が上でしたように。

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EditPiAf 2019-08-08 22:19.

特徴の方法は、ドメイン内の溶液を提供します$t\geq a \geq 0$。情報に沿った特性曲線$\frac{\text d}{\text d t} y_k = f_k y_k$ 伝播は直線の平行線です $x = t-t_0$$t_0 \geq 0$。したがって、$$ y_1(t,a) = c_1 \exp\left(\int_{t-a}^t f_1(s)\, \text d s\right) = c_1 \exp\left(\int_{0}^a f_1(t-\tau)\, \text d \tau\right) . $$ 同様に、 $t\geq a \geq 0$ $$ y_2(t,a) = c_2\, y_1(t,\tau_1) \exp\left(\int_{0}^a f_2(t-\tau)\, \text d \tau\right) $$ どこ $y_1(t,\tau_1)$$t\geq \tau_1$前のステップから推測できます。もちろん、このソリューションは、Matlabで実装できます。たとえば、Matlab関数integralを使用して$f_k$。あるいは、有限体積法による反復数値分解能を実装することもできます。

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