線有向グラフのAdacencyマトリックス

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Michela 2019-08-06 10:32.

しましょう $G$ 隣接行列を持つ有向グラフ $A$ そしてそれを仮定しましょう $A$ 原始的です、すなわち存在します $N\in\mathbb{N}$ そのような $(A^N)_{i,j}>0$ すべてのために $i,j$

今すぐしましょう $L(G)$ の有向グラフである $G$ とで示す $B$その隣接行列。(からの有向エッジを表す2つの頂点$u$$v$ とから $w$$x$$G$ からのエッジで接続されています $uv$$wx$ 行の有向グラフで $v = w$)。

私の推測では、マトリックスは $B$これも原始的であり、これは私が計算したいくつかの例に適合しているようです。しかし、それを厳密に証明する方法がわかりません。誰かがいくつかの良いアイデアを共有できますか?

私は表現する方法を探そうとしました $B$ の面では $A$、しかし有向グラフの場合、接続が見つかりませんでした...

手伝ってくれてありがとうございます!

1 answers

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draks ... 2019-08-08 21:53.

私はあなたが定義されているものに近いものを探していると思います https://math.ucsd.edu/~aterras/snowbird.pdf なので $W_1$

0,1エッジ行列を定義します $W_1$ 向きを変えることによって $m$ のエッジ $G$式(2.1)のようにラベルを付けます。次に$W_1$ それは $2m×2m$ との行列 $ij$ エントリ $1$ エッジの場合 $e_i$ にフィードします $e_j$ ただし $e_j\neq e^{−1}_i$、および $ij$ エントリ $0$さもないと。沿って "$e_i$ にフィードします $e_j$、」とは、エッジの終端頂点を意味します $e_i$ エッジの最初の頂点と同じです $e_j$

しましょう $u,w,x$ の頂点のラベルになります $G$ 今のところバックトラックのないことを気にしないで、次のことは $n^2$ の寸法表現 $B$$$ B=\sum_u \sum_w \langle w|Au\rangle \sum_{|x\rangle\in A|w\rangle} E_{u,w}\otimes E_{w,x} $$

設定 $E_{u,w}\otimes E_{w,u}=0$ バックトラッカーを削除して、 $n^2$ の寸法表現 $W_1$..。

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