の証拠の欠陥 $\det AB=\det A\det B$？

user642721 2019-07-15 16:58.

基本的な行操作、つまり行の交換、スカラーの行への乗算、および別の行からの行の減算は、行列式の結果に影響を与えないため、上三角行列のみを考慮します。

そして上三角行列の場合 $A$、 $\det A$ 対角要素の積にすぎません。

そして、2つの上三角行列を乗算すると、 $A,B$、我々は持っています

$$AB=\left[\begin{array}{} a_{11}&\dots&\dots&\dots\\ 0&a_{22}&\dots&\dots\\ 0&0&\ddots& \vdots&\\ 0&0&\dots&a_{nn} \end{array}\right]\left[\begin{array}{} b_{11}&\dots&\dots&\dots\\ 0&b_{22}&\dots&\dots\\ 0&0&\ddots& \vdots&\\ 0&0&\dots&b_{nn} \end{array}\right]\\ =\left[\begin{array}{} a_{11}b_{11}&\dots&\dots&\dots\\ 0&a_{22}b_{22}&\dots&\dots\\ 0&0&\ddots& \vdots&\\ 0&0&\dots&a_{nn}b_{nn} \end{array}\right].$$

そう $\det AB=\det A \det B.$

これは平等を証明するはずだと思います。この推論に欠陥はありますか？

編集：実際、スカラーを行に乗算すると、結果に影響します。

この方向に近づくと行き止まりになりますか？

linear-algebra matrices proof-verification determinant

1 answers

Jyrki Lahtonen 2019-07-15 17:34.

与えられた $A$ そして $B$ 基本行列の積を見つけることができます $U_1$ そして $U_2$ 行列式付き $1$ そのような $A'=U_1A$ そして $B'=U_2B$上三角です。あなたが観察したように、私たちは

$\det A=\det A'$、
$\det B=\det B'$、および
$\det(A'B')=\det(A')\det(B')$。

最後に、上三角行列を乗算するときに対角要素が動作する簡単な方法を使用します。

しかし、なぜ私たちは $\det(AB)=\det(A'B')$？この時点で発生する問題は、$$ A'B'=U_1AU_2B\qquad(*) $$ から取得されていません $AB$一連の基本行操作によって。言い換えれば、私たちはのような製品を持っていません$U_3AB$ の右側に $(*)$。したがって、それは明らかではありません$\det(AB)$ に等しい $\det(A'B')$？

しかし、言い換えれば。

それらの行演算を因子に適用する $A$ そして $B$ それらを上三角にしますが、そのプロセスはそれらの製品を妨害します。

編集：タイプの基本行演算のみが必要な理由に関する説明を追加して、行のスカラー倍を別の行に追加します。これはeyeballfrogによってコメントされましたが、この方法でガウスの消去法を実行するのは非常に厄介なので、通常は線形代数のテキストではカバーされません。

しましょう $d$ゼロ以外のスカラーである。次の一連の操作（このタイプ）について考えてみます。ポイントを証明するには、そのために2行を表示するだけで十分です。$$ \begin{aligned} &\left(\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}\right)&\to&\left(\begin{array}{cc}1&-d\\0&1\end{array}\right) &\to&\left(\begin{array}{cc}1&-d\\d^{-1}&0\end{array}\right)\\ \to&\left(\begin{array}{cc}0&-d\\d^{-1}&0\end{array}\right)&\to&\left(\begin{array}{cc}0&-d\\d^{-1}&d\end{array}\right) &\to&\left(\begin{array}{cc}d^{-1}&0\\d^{-1}&d\end{array}\right)\\ \to&\left(\begin{array}{cc}d^{-1}&0\\0&d\end{array}\right). \end{aligned} $$

最後の形式は、このタイプの一連の行演算が1つの行に次の値を乗算することを示しています。 $d$ そして別の $d^{-1}$。これは、行を乗算するときに実行できる最善の方法です。$\det=1$ 操作。
セットする $d=1$2行目の最初の行列（= 4番目の行列全体）を見てください。これは、2つの行を交換しながら、もう一方の行に次の行を乗算する基本行列の形式を持ちます。$-1$。繰り返しますが、後者の副作用は維持するために必要です$\det=1$。

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