最初の反復からの漸化式の制限。

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Bigi Varghese Philip 2019-07-15 02:18.

クエリ:連続する初期反復のいくつか(必要な数だけ取ることができます)から収束する再帰シーケンスの制限を見つける方法は?

例:フォームの漸化式があります$\vec{x}(n+3)=a_2 \vec{x}(n+2)+ a_1 \vec{x}(n+1)+ a_0 \vec{x}(n) +\vec{c}$、 どこ $\vec{x}(k),\vec{c}\in \mathbb{R}^2$ そして $a_2,a_1, a_0 \in \mathbb{R}$ 関係が限界点に収束するように選択されます。 $\frac{\vec{c}}{1-(a_2+a_1+a_0)}$。定数を知っているなら$a_2,a_1, a_0$ そして $\vec{c}$、限界点を計算することができます。

ただし、最初の反復はほとんど(たとえば10回)残っています。 $\vec{x}(k)$。限界点を見つける必要があります。これが私が試したアプローチです。

ステップ1:見積もり$a_2, a_1$ そして $ a_0$ 次の方程式を解く反復値から。

k = 1、2(または任意の2つの値)の場合

$\vec{x}(k+5)-\vec{x}(k+4)$ = $a_2(\vec{x}(k+4)-\vec{x}(k+3))+a_1(\vec{x}(k+3)-\vec{x}(k+2))+a_0(\vec{x}(k+2)-\vec{x}(k+1))$

これにより、3つの未知数に対して4つの方程式が得られると予想されます(さまざまな反復から必要な数の方程式を生成できます) $k$

ここに問題があります:連立方程式は解けません(Matlabソルバーはシステムに一貫性がないと言います)。

ステップ2:見積もり$\vec{c}$ 漸化式から。

ステップ3:見積もり$x_{limit}$ 前述の問題を使用します。

添付のサンプルMatlabコードを見つけてください(試してみたい場合)。

上記の線形方程式を解くために形成された行列の条件数が大きいことを観察しました(これにより、システムに一貫性がなくなると思います)。なぜそれが起こっているのですか?

私がこの問題を解決するのを手伝ってくれた(あるいはなぜこれが起こっているのかを特定するために)どんな努力も高く評価されています。

前もって感謝します

%% Sample code


%% Calculating iterates using a sample recursive relation
a_2 = 0.1;
a_1 = 0.1;
a_0 = 0.3;

c=[0.2,1]';


x_limit = c/(1-(a_2+a_1+a_0));%-----(1)
% x_0 = 10*rand(size(c));
x_0 = zeros(size(c));
x_1 = a_0*x_0 +c;
x_2 = a_1*x_1+a_0*x_0 +c;

totla_iterates=200;
X_mat=zeros(length(c),totla_iterates);
X_mat(:,1) = x_0;
X_mat(:,2)=x_1;
X_mat(:,3)=x_2;
for i=4:totla_iterates
   X_mat(:,i)=a_2* X_mat(:,i-1)+a_1* X_mat(:,i-2)+a_0* X_mat(:,i-3)+c;%----(2)
end

%% Note that the recursive relation converges to the limit predicted by (1)

% Now use the first 10 iterates of (2) to predict the limit
%% Step 1: Estimate a_0,a_1
X_difmat=X_mat(:,2:end)-X_mat(:,1:end-1);

syms a2 a1 a0
i=1; % you may try varying the value of i or use more equations to find the soln.
% eqn1 =  X_difmat(1,i)*a2+X_difmat(1,i+1)*a1 +X_difmat(1,i+2)* a0 == X_difmat(1,i+3);
% eqn2 =  X_difmat(2,i)*a2+X_difmat(2,i+1)*a1 +X_difmat(2,i+2)* a0 == X_difmat(2,i+3);
% eqn3 =  X_difmat(1,i+1)*a2+X_difmat(1,i+2)*a1 +X_difmat(1,i+3)* a0 == X_difmat(1,i+4);
% [A,B] = equationsToMatrix([eqn1,eqn2,eqn3], [a2 a1 a0]);
eqn1 =  X_difmat(:,i)*a2+X_difmat(:,i+1)*a1 +X_difmat(:,i+2)* a0 == X_difmat(:,i+3);
eqn2 =  X_difmat(:,i+1)*a2+X_difmat(:,i+2)*a1 +X_difmat(:,i+3)* a0 == X_difmat(:,i+4);
[A,B] = equationsToMatrix([eqn1,eqn2], [a2 a1 a0]);

X=double(linsolve(A,B)); % note that I am unable to calculate a_1 and a_0 here
 disp(num2str(X)) % Ideally this should be X= a_2 a_1 and a_0 , which I am not getting.

```

2 answers

3
Somos 2019-07-15 07:53.

これは興味深い問題であり、驚くほど簡単な解決策があります。問題の単純な形から始めます。仮定します$\, x_{n+1} = a_0 x_n + c\,$ すべてのために $\,n.\,$ 解決したい $\,a_0,\,c\,$ と計算 $\, L := c/(1-a_0).\,$ 線形システムを解きます $\, x_1 = a_0 x_0 + c,\, x_2 = a_0 x_1 + c\,$ 限界の式を見つける $\,L_2\,$ (存在する場合)は $$ L_2 = \frac{x_0 x_2 - x_1 x_1}{x_0 - 2x_1 + x_2}. $$ 分子はの行列式です $\,2 \times 2\,$ を使用して形成されたハンケル行列$\,(x_0, x_1, x_2).\,$分母は分子の全導関数であり、すべての偏導関数が$\,1.$ そのことに注意してください $\,L_2\,$まさにエイトケンの結果です$\Delta^2$-クォーリングされたプロセス

この有理式 $\,L_2\,$より多くの項を持つ線形再発を自然に一般化します。たとえば、$\, x_{n+2} = a_1 x_{n+1} + a_0 x_n + c\,$ すべてのために $\,n\,$ と限界 $\, L := c/(1-a0-a1).\,$ 線形システムを解く $\, x_2 = a_1 x_1 + a_0 x_0 + c,\, x_3 = a_1 x_2 + a_0 x_1 + c,\, x_4 = a_1 x_3 + a_0 x_2 + c\,$ 限界の式を与える $\,L_3\,$ (存在する場合)として $$ L_3 = \frac{ x_0 x_2 x_4 + 2 x_1 x_2 x_3 - x_2^3 - x_0 x_3^2 - x_1^2 x_4 } { (x_0 - 2 x_1 + x_2) (x_2 - 2 x_3 + x_4) - (x_1 - 2 x_2 + x_3)^2}. $$

この一般的な結果の理由は、制限の分子が $\,L\,$ です $\,c\,$ そして $\,c=0\,$は、同次線形システムのハンケル行列式がゼロであることに相当します。分母の場合$\,(1 - a_0 - ... - a_k) = 0,\,$ 次に、の2番目の違い $\,\{x\}\,$ シーケンスは線形同次連立方程式を満たし、ハンケル行列式がゼロであることに相当します。

もちろん、これは制限が存在し、正確な計算が使用されることを前提としています。1つの問題は、分母および/または分子がゼロになる可能性があることです。たとえば、$\, x_{n+1} = x_n\,$ その後 $\, L_2 = 0/0 \,$これは、定数シーケンスの制限に関する情報を提供しません。場合$\,\{x\}\,$ はによって与えられる等比数列です $\, x_{n+1} = a_0 x_n\,$ その後 $\, L_2 = 0/(x_0(1-a_0)^2)\,$ これは $\, L_2 = 0\,$ もし $\,x_0 \ne 0\,$ そして $\, a_0 \ne 1,\,$ ただし、制限は次の場合にのみゼロになります $\, |a_0|<1.\,$ もう1つの問題は、不正確な算術演算を行う際の重要性の喪失です。

テストの目的で、次のPARI / GPコードを作成しました。

{doit(n, m=1) = for(k=0, n+m-1, x[n+k+1] = c + sum(i=1,n, x[k+i]*a[i]))};
{L3(k=1) = my(x0 = x[k+0], x1 = x[k+1], x2 = x[k+2], x3 = x[k+3], x4 = x[k+4],
   y0 = x0 - 2*x1 + x2, y1 = x1 - 2*x2 + x3, y2 = x2 - 2*x3 + x4);
   (x0*x2*x4 + 2*x1*x2*x3 - x2^3 - x0*x3^2 - x1^2*x4)/(y0*y2 - y1*y1)};
default(realprecision, 9);
ni = 20; x = vector(ni+4); a = [0.2,0.1]; c = 0.02; x[1] = 0.5; x[2] = 0.3;
   doit(2, ni); print(x); print(vector(ni, k, L3(k)));

結果の出力は次のとおりです。

[0.500000000, 0.300000000, 0.150000000, 0.0950000000, 0.0595000000, 0.0449500000, 0.0363950000, 0.0326295000, 0.0305419500, 0.0295800950, 0.0290663995, 0.0288226589, 0.0286955458, 0.0286340864, 0.0286025178, 0.0285870690, 0.0285792105, 0.0285753349, 0.0285733756, 0.0285724045, 0.0285719156, 0.0285716725, 0.0285715504, 0.0285714895]
[0.0285714280, 0.0285714283, 0.0285714283, 0.0285714288, 0.0285714246, 0.0285714317, 0.0285714052, 0.0285716963, 0.0285716927, 0.0285761767, 0.0285658400, 0.0286175962, 0.0286606325, 0.0258589033, 0.0269360081, 0.E-1, 0.E0, -1.34551706, -10.0552618, 33.4275327]

元のシーケンスが収束しているのがわかりますが、限界への近似は発散しているように見えます。これは、のみを使用した結果です$9$精度の桁。精度の桁数をに増やした場合$19$、問題はなくなります。

2
Yves Daoust 2019-07-16 02:10.

反復が実際に特定の繰り返しから発生している場合、システム互換性がなければなりません。実際、4つの未知の定数があり、4つの方程式を使用する必要があります。次に、そのように取得された係数により、次の反復を正確に取得できるはずです。

問題が数値的に不安定な場合は、重大な数値エラーに直面している可能性があります。過剰決定系で作業し、最小二乗の意味(または同様の意味)で解決することは理にかなっています。

再発が仮定または近似として受け入れられるだけの場合、またはデータにノイズが多い場合は、PERFORCEシステムに互換性がないため、最適な方法を使用する必要があります。


ちなみに、独立した用語を扱う理由はありません $\vec c$ 他の未知のパラメータとは異なります。

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