dim(V + W)+ dim(V∩W)= dim(V)+ dim(W)の例。

2
Maverick Meerkat 2019-07-05 08:40.

このアイデンティティを証明するように求める投稿をいくつか見ましたが、それが何を意味するのかを直感的に理解しようとしています。誰かがそれのいくつかの例を示すことができますか?

2 answers

6
Ethan Bolker 2019-07-05 08:43.

について考えてください $x-y$ そして $y-z$空間内の座標平面。それぞれに次元があります$2$。それらの交差点は$1$ 次元 $x$軸。彼らの合計はいっぱいです$3$ 次元空間。

5
TMO 2019-07-05 08:49.

しましょう $V$ 有限次元である $k$-ベクトル空間と $U_1,U_2 \subset V$部分空間である。次に、ベクトル空間を考えることができます$U = U_1 + U_2$。さて、自然な問題はどの次元かです$U$ 持っているとその次元がの次元にどのように依存するか $U_1$ そして $U_2$。観察は、一般的にそれです$\text{dim}(U) \neq \text{dim}(U_1) + \text{dim}(U_2)$。たとえば、次のことを考慮してください。

部分空間の次元は常に親空間の次元によって制限されます。 $\text{dim}(U) \leq 3$ の場合 $V = \mathbb{R}^3$。したがって、2つの平面の寸法を合計することはできません。交差点を考慮に入れて、交差点の寸法を差し引く必要があります。

交差点が些細な場合は、 $U$ の直和 $U_1$ そして $U_2$、これは基本的に $U$ に分解します $U_1$ そして $U_2$。それを述べる同等の方法は、各ベクトルが$u \in U$ としてユニークな表現を持っています $u = u_1 + u_2$、 どこ $u_i \in U_i$。このようにして、直和の概念をベクトル空間の任意の有限和に一般化することができます。$U_1 + \dots + U_n$

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