11人を3つのグループに分け、それぞれに少なくとも2人

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MsWynfled 2019-07-04 13:43.

11人を3つのチームに分割する方法はいくつありますか?各チームには少なくとも2人のメンバーが必要です。

多項係数と整数解の数を使用することになっています。私はこれを試しました https://iquestion.pro/q/ma15387981/5-nin-o-3-tsu-no-guru-pu-ni-wakeru-hoho-no-kazu この https://iquestion.pro/q/ma15229139/arenji-10-no-hitobito-2-re-n-kaku-re-n-ni-wa-sukunakutomo-2-jin より具体的にはこれ https://iquestion.pro/q/ma16016385/njin-o-k-guru-pu-ni-bunkatsusuru-hoho-no-kazu-kaku-guru-pu-ni-sukunakutomo-2-nin、しかし、特に最後のものはまったく理解できませんでした(括弧{}の意味がわからないため)。

私はこれまでにいくつかのことを試しましたが、どれも正しいとは確信していません。これが私の最善の試みです:

各グループに少なくとも2人がいる場合、最初は11から6を選択します。 $$\binom{11}{6}=42$$

次に、これらの6人を2人のグループに入れる必要があります。 $$\frac{6!}{2!2!2!}=90$$ しかし、順序は重要ではないので、3で割る必要があります!: $$\frac{6!}{2!2!2!3!} = 15$$

したがって、各グループの2人を選択するには、90 * 15 = 1350の可能性があります。

次に、残りの5人について検討する必要があります。しましょう$x_1,x_2,x_3$各グループの人数になります。次に、合計 $$\binom{5+3-1}{3-1} = \binom{7}{2}=21$$ (負でない)整数解 $x_1+x_2+x_3=5$

ただし、考えられるケースは次のとおりです。 $$(0,1,4),(0,2,3),(0,0,5),(1,1,3),(1,2,2),$$ 最初の2つのトリプレットは合計3つ表示されます。それぞれ(順序は関係ありません)と最後の3つが表示されます$\frac{3!}{2!} =3$ 時間(同じ人数の用語の順列のため)。

場合 $(0,1,4)$$\binom{5}{1}\binom{4}{4}=5,$ 合計を与える $3!5 = 30$ 可能性。

場合 $(0,2,3)$$\binom{5}{2}\binom{3}{3}=10,$ 合計を与える $3!10 = 60$ 可能性。

場合 $(0,0,5)$$\binom{5}{5}=5,$ 合計を与える $3\times 5 = 15$ 可能性。

場合 $(1,1,3)$$\binom{5}{1}\binom{4}{1}\binom{3}{3}=2,0$ 合計を与える $3\times 20 = 60$ 可能性。

場合 $(1,2,2)$$\binom{5}{1}\binom{4}{2}\binom{2}{2}=6,$ 合計を与える $3\times 6 = 18$ 可能性。

その後、合計 $1350(30+60+15+60+18) = 247050$ 可能性。

誰かがここで論理的推論を手伝って、これが正しいかどうかを確認できますか?それが間違っている場合、私はどこで間違っていますか?

2 answers

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Parcly Taxel 2019-07-04 21:17.

各グループの義務的な2人を別々に扱うことはお勧めできません。むしろ、のパーティション$11$$3$ 少なくとも各部分で $2$ あなたが解決したように、それは直接見られるべきです $$(7,2,2),(6,3,2),(5,4,2),(5,3,3),(4,4,3)$$ これらにより、パーティションごとに次のカウントが発生します。

  • $(7,2,2)\to\binom{11}7\binom42/2=990$ 方法
  • $(6,3,2)\to\binom{11}6\binom53=4620$
  • $(5,4,2)\to\binom{11}5\binom64=6930$
  • $(5,3,3)\to\binom{11}5\binom63/2=4620$
  • $(4,4,3)\to\binom{11}3\binom84/2=5775$

による除算 $2$3つのケースでは、同じ人であるが異なる体位を持つグループの区別がつかないことを説明しています。カウントアップを合計すると、$22935$ 許容されるパーティション。

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drhab 2019-07-04 21:12.

グループ内の人数を見ると、次の可能性があります。

  • ために $(2,2,7)$ がある $\frac{11!}{2!2!7!}\cdot\frac12$ 可能性。
  • ために $(2,3,6)$ がある $\frac{11!}{2!3!6!}$ 可能性。
  • ために $(2,4,5)$ がある $\frac{11!}{2!4!5!}$ 可能性。
  • ために $(3,3,5)$ がある $\frac{11!}{3!3!5!}\cdot\frac12$可能性。
  • ために $(3,4,4)$ がある $\frac{11!}{3!4!4!}\cdot\frac12$ 可能性。

要因に注意してください $\frac12$ 正確に2つのグループが同じサイズである場合。

この係数は、二重カウントを修復します。

他のすべての場合、グループはメンバーの数によって区別できます。

これらの数字の合計があなたの質問に対する答えです。

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